द्वि-आयामी अंतरिक्ष में, दो सीधी रेखाएं निर्देशांक (x, y) द्वारा निर्दिष्ट केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। चूंकि दोनों रेखाएं अपने प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरती हैं, निर्देशांक (x, y) को इन रेखाओं का वर्णन करने वाले दोनों समीकरणों को पूरा करना चाहिए। कुछ अतिरिक्त कौशल के साथ, आप परवलय और अन्य द्विघात वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु पा सकते हैं।

कदम

दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु

समीकरण के बाईं ओर y चर को अलग करके प्रत्येक पंक्ति के लिए समीकरण लिखिए।समीकरण के अन्य पदों को समीकरण के दाईं ओर रखा जाना चाहिए। शायद "y" के बजाय आपको दिए गए समीकरण में चर f (x) या g (x) होगा; इस मामले में, ऐसे चर को अलग करें। एक चर को अलग करने के लिए, समीकरण के दोनों ओर उपयुक्त गणित करें।

• यदि आपको जानकारी के आधार पर सीधी रेखाओं के समीकरण नहीं दिए गए हैं।
• उदाहरण... रेखाएँ दी गई हैं, समीकरणों द्वारा वर्णित हैं और y - 12 = - 2 x (\ डिस्प्लेस्टाइल y-12 = -2x)... दूसरे समीकरण में y को अलग करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों में 12 जोड़ें:

1. आप दोनों रेखाओं के प्रतिच्छेदन की तलाश कर रहे हैं, अर्थात वह बिंदु जिसके निर्देशांक (x, y) दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। चूंकि चर "y" प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर स्थित है, इसलिए प्रत्येक समीकरण के दाईं ओर स्थित व्यंजकों को समान किया जा सकता है। नया समीकरण लिखिए।

   • उदाहरण... जैसा वाई = एक्स + 3 (\ डिस्प्लेस्टाइल वाई = एक्स + 3)तथा y = 12 - 2 x (\ डिस्प्लेस्टाइल y = 12-2x), तो आप निम्न समानता लिख ​​सकते हैं:।

2. चर "x" का मान ज्ञात कीजिए।नए समीकरण में केवल एक चर "x" है। "X" को खोजने के लिए, इस चर को समीकरण के बाईं ओर समीकरण के दोनों किनारों पर उपयुक्त गणित करके अलग करें। आपको x = __ के रूप का एक समीकरण प्राप्त होना चाहिए (यदि आप ऐसा नहीं कर सकते हैं, तो यह खंड)।

   • उदाहरण. x + 3 = 12 - 2 x (\ डिस्प्लेस्टाइल x + 3 = 12-2x)
   • जोड़ें 2 एक्स (\ डिस्प्लेस्टाइल 2x)समीकरण के प्रत्येक पक्ष के लिए:
   • ३ x + ३ = १२ (\ डिस्प्लेस्टाइल ३x + ३ = १२)
   • समीकरण के प्रत्येक पक्ष से 3 घटाएं:
   • ३ एक्स = ९ (\ डिस्प्लेस्टाइल ३एक्स = ९)
   • समीकरण के प्रत्येक पक्ष को 3 से विभाजित करें:
   • एक्स = ३ (\ डिस्प्लेस्टाइल एक्स = ३).

3. चर "y" के मान की गणना करने के लिए चर "x" के पाए गए मान का उपयोग करें।ऐसा करने के लिए, समीकरण (किसी भी) सीधी रेखा में पाए गए मान "x" को प्रतिस्थापित करें।

   • उदाहरण. एक्स = ३ (\ डिस्प्लेस्टाइल एक्स = ३)तथा वाई = एक्स + 3 (\ डिस्प्लेस्टाइल वाई = एक्स + 3)
   • y = ३ + ३ (\ डिस्प्लेस्टाइल y = ३ + ३)
   • y = ६ (\ डिस्प्लेस्टाइल y = ६)

4. अपना उत्तर जाँच लें।ऐसा करने के लिए, लाइन के दूसरे समीकरण में मान "x" को प्रतिस्थापित करें और मान "y" खोजें। यदि आपको अलग-अलग y मान मिलते हैं, तो जांच लें कि आपकी गणना सही है।

   • उदाहरण: एक्स = ३ (\ डिस्प्लेस्टाइल एक्स = ३)तथा y = 12 - 2 x (\ डिस्प्लेस्टाइल y = 12-2x)
   • y = 12 - 2 (3) (\ डिस्प्लेस्टाइल y = 12-2 (3))
   • y = १२ - ६ (\ डिस्प्लेस्टाइल y = १२-६)
   • y = ६ (\ डिस्प्लेस्टाइल y = ६)
   • आपको "y" के लिए समान मान मिला है, इसलिए आपकी गणना में कोई त्रुटि नहीं है।

5. निर्देशांक (x, y) लिखिए। x और y मानों की गणना करके, आपने दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन के निर्देशांक ज्ञात कर लिए हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांकों को (x, y) के रूप में लिखिए।

   • उदाहरण. एक्स = ३ (\ डिस्प्लेस्टाइल एक्स = ३)तथा y = ६ (\ डिस्प्लेस्टाइल y = ६)
   • इस प्रकार, दो रेखाएँ निर्देशांक (3,6) वाले एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

6. विशेष मामलों में गणना।कुछ मामलों में, चर "x" का मान नहीं मिल सकता है। लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि आपने गलती की है। एक विशेष मामला तब होता है जब निम्न में से कोई एक शर्त पूरी होती है:

   • यदि दो रेखाएँ समानांतर हैं, तो वे प्रतिच्छेद नहीं करती हैं। इस मामले में, चर "x" बस रद्द कर दिया जाएगा, और आपका समीकरण एक अर्थहीन समानता में बदल जाएगा (उदाहरण के लिए, 0 = 1 (\ डिस्प्लेस्टाइल 0 = 1)) ऐसी स्थिति में उत्तर में यह लिखिए कि रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं करती हैं या कोई हल नहीं है।
   • यदि दोनों समीकरण एक सीधी रेखा का वर्णन करते हैं, तो प्रतिच्छेदन बिंदुओं का एक अनंत सेट होगा। इस मामले में, चर "x" बस रद्द कर दिया जाएगा, और आपका समीकरण सख्त समानता में बदल जाएगा (उदाहरण के लिए, ३ = ३ (\ डिस्प्लेस्टाइल ३ = ३)) इस स्थिति में, अपने उत्तर में यह लिखिए कि दो सीधी रेखाएँ मेल खाती हैं।

   द्विघात कार्यों के साथ समस्या

   1. द्विघात फलन की परिभाषा।द्विघात फलन में, एक या अधिक चरों की दूसरी डिग्री (लेकिन अधिक नहीं) होती है, उदाहरण के लिए, एक्स 2 (\ डिस्प्लेस्टाइल एक्स ^ (2))या वाई 2 (\ डिस्प्लेस्टाइल वाई ^ (2))... द्विघात फलन प्लॉट ऐसे वक्र होते हैं जो एक या दो बिंदुओं पर नहीं या प्रतिच्छेद कर सकते हैं। इस भाग में, हम आपको दिखाएंगे कि द्विघात वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु या बिंदु कैसे ज्ञात करें।

   2. समीकरण के बाईं ओर y चर को अलग करके प्रत्येक समीकरण को फिर से लिखें।समीकरण के अन्य पदों को समीकरण के दाईं ओर रखा जाना चाहिए।

      • उदाहरण... ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन के बिंदु (ओं) को खोजें x 2 + 2 x - y = - 1 (\ डिस्प्लेस्टाइल x ^ (2) + 2x-y = -1)तथा
      • समीकरण के बाईं ओर चर "y" को इन्सुलेट करें:
      • तथा वाई = एक्स + 7 (\ डिस्प्लेस्टाइल वाई = एक्स + 7) .
      • इस उदाहरण में, आपको एक द्विघात फलन और एक रैखिक फलन दिया गया है। याद रखें कि यदि आपको दो द्विघात फलन दिए गए हैं, तो परिकलन नीचे दिए गए चरणों के समान हैं।

   3. प्रत्येक समीकरण के दायीं ओर के व्यंजकों की बराबरी करें।चूंकि चर "y" प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर स्थित है, इसलिए प्रत्येक समीकरण के दाईं ओर स्थित व्यंजकों को समान किया जा सकता है।

      • उदाहरण. y = x 2 + 2 x + 1 (\ डिस्प्लेस्टाइल y = x ^ (2) + 2x + 1)तथा वाई = एक्स + 7 (\ डिस्प्लेस्टाइल वाई = एक्स + 7)

   4. परिणामी समीकरण के सभी पदों को इसके बाईं ओर स्थानांतरित करें, और दाईं ओर 0 लिखें।ऐसा करने के लिए, बुनियादी गणित संचालन करें। यह आपको परिणामी समीकरण को हल करने की अनुमति देगा।

      • उदाहरण. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\ डिस्प्लेस्टाइल x ^ (2) + 2x + 1 = x + 7)
      • समीकरण के दोनों पक्षों से "x" घटाएं:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\ डिस्प्लेस्टाइल x ^ (2) + x + 1 = 7)
      • समीकरण के दोनों पक्षों से 7 घटाएँ:

   5. द्विघात समीकरण को हल करें।समीकरण के सभी पदों को बाईं ओर ले जाने पर, आपको द्विघात समीकरण प्राप्त होता है। इसे तीन तरीकों से हल किया जा सकता है: एक विशेष सूत्र का उपयोग करके, और।

      • उदाहरण. x 2 + x - 6 = 0 (\ डिस्प्लेस्टाइल x ^ (2) + x-6 = 0)
      • एक समीकरण को फ़ैक्टर करते समय, आपको दो द्विपद मिलते हैं जिन्हें आप मूल समीकरण प्राप्त करने के लिए गुणा करते हैं। हमारे उदाहरण में, पहला सदस्य एक्स 2 (\ डिस्प्लेस्टाइल एक्स ^ (2)) x * x में विस्तारित किया जा सकता है। निम्नलिखित प्रविष्टि करें: (x) (x) = 0
      • हमारे उदाहरण में, मुक्त पद -6 को निम्नलिखित कारकों में विस्तारित किया जा सकता है: - ६ १ (\ डिस्प्लेस्टाइल -6 * १), - 3 2 (\ डिस्प्लेस्टाइल -3 * 2), - 2 3 (\ डिस्प्लेस्टाइल -2 * 3), - 1 6 (\ डिस्प्लेस्टाइल -1 * 6).
      • हमारे उदाहरण में, दूसरा पद x (या 1x) है। इंटरसेप्ट फैक्टर की प्रत्येक जोड़ी जोड़ें (हमारे उदाहरण -6) में जब तक आपको 1 नहीं मिल जाता है। हमारे उदाहरण में, इंटरसेप्ट फैक्टर की उपयुक्त जोड़ी -2 और 3 है ( - 2 3 = - 6 (\ डिस्प्लेस्टाइल -2 * 3 = -6)), जैसा - 2 + 3 = 1 (\ डिस्प्लेस्टाइल -2 + 3 = 1).
      • प्राप्त संख्याओं के युग्म से रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।

   6. दो रेखांकन के दूसरे प्रतिच्छेदन बिंदु के बारे में मत भूलना।यदि आप समस्या को जल्दी से हल करते हैं और बहुत सावधानी से नहीं, तो आप दूसरे चौराहे के बिंदु के बारे में भूल सकते हैं। यहाँ दो प्रतिच्छेदन बिंदुओं के x-निर्देशांक ज्ञात करने का तरीका बताया गया है:

      • उदाहरण (कारक)... यदि समीकरण में (एक्स - 2) (एक्स + 3) = 0 (\ डिस्प्लेस्टाइल (एक्स -2) (एक्स + 3) = 0)कोष्ठक में व्यंजकों में से एक 0 के बराबर होगा, तो पूरा समीकरण 0 के बराबर होगा। इसलिए, आप इसे इस तरह लिख सकते हैं: x - 2 = 0 (\ डिस्प्लेस्टाइल x-2 = 0) → एक्स = 2 (\ डिस्प्लेस्टाइल एक्स = 2) तथा एक्स + 3 = 0 (\ डिस्प्लेस्टाइल एक्स + 3 = 0) → x = - ३ (\ डिस्प्लेस्टाइल x = -3) (अर्थात, आपको समीकरण के दो मूल मिले हैं)।
      • उदाहरण (एक सूत्र या पूर्ण वर्ग के पूरक का उपयोग करके)... इन विधियों में से किसी एक का उपयोग करते समय, वर्गमूल समाधान प्रक्रिया में दिखाई देगा। उदाहरण के लिए, हमारे उदाहरण से समीकरण का रूप लेगा x = (- 1 + 25)/2 (\ डिस्प्लेस्टाइल x = (- 1 + (\ sqrt (25)))/2)... याद रखें, जब आप वर्गमूल लेते हैं तो आपको दो समाधान मिलते हैं। हमारे मामले में: २५ = ५ ५ (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ sqrt (२५)) = ५ * ५), तथा 25 = (- 5) (- 5) (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ sqrt (25)) = (- 5) * (- 5))... इसलिए दो समीकरण लिखिए और दो x मान ज्ञात कीजिए।

   7. रेखांकन एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं या बिल्कुल भी प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।ऐसी स्थितियां तब होती हैं जब निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:

      • यदि ग्राफ़ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो द्विघात समीकरण समान कारकों में विघटित हो जाता है, उदाहरण के लिए, (x-1) (x-1) = 0, और 0 का वर्गमूल सूत्र में प्रकट होता है ( 0 (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ sqrt (0)))) इस मामले में, समीकरण का केवल एक ही हल है।
      • यदि ग्राफ़ बिल्कुल भी प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, तो समीकरण कारकों में विघटित नहीं होता है, और एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल सूत्र में दिखाई देता है (उदाहरण के लिए, - 2 (\ डिस्प्लेस्टाइल (\ sqrt (-2)))) इस मामले में, अपने उत्तर में लिखें कि कोई समाधान नहीं है।

रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु

आइए हमें दो सीधी रेखाएं दी गई हैं, जो उनके गुणांकों द्वारा दी गई हैं और। उनका प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करना, या यह पता लगाना आवश्यक है कि रेखाएँ समानांतर हैं।

समाधान

यदि दो रेखाएँ समानांतर नहीं हैं, तो वे प्रतिच्छेद करती हैं। चौराहे के बिंदु को खोजने के लिए, सीधी रेखाओं के दो समीकरणों की एक प्रणाली बनाने और इसे हल करने के लिए पर्याप्त है:

क्रैमर के सूत्र का उपयोग करके, हम तुरंत सिस्टम का समाधान ढूंढते हैं, जो आवश्यक होगा चौराहे की जगह:

यदि हर शून्य है, अर्थात।

तब समाधान की प्रणाली में कोई (प्रत्यक्ष) नहीं है समानांतरऔर मेल नहीं खाते) या अपरिमित रूप से अनेक हैं (सीधी रेखाएं मेल खाना) यदि इन दो मामलों के बीच अंतर करना आवश्यक है, तो यह जांचना आवश्यक है कि सीधी रेखाओं के गुणांक आनुपातिकता के समान गुणांक के साथ आनुपातिक हैं और, जिसके लिए दो निर्धारकों की गणना करने के लिए पर्याप्त है, यदि वे दोनों हैं शून्य के बराबर, तो सीधी रेखाएँ मेल खाती हैं:

कार्यान्वयन

संरचना पीटी (डबल एक्स, वाई;); स्ट्रक्चर लाइन (डबल ए, बी, सी;); कॉन्स्टेबल ईपीएस = 1e-9; डबल डेट (डबल ए, डबल बी, डबल सी, डबल डी) (रिटर्न ए * डी - बी * सी;) बूल इंटरसेक्ट (लाइन एम, लाइन एन, पीटी एंड रेस) (डबल जेडएन = डीईटी (एमए, एमबी, ना) , नायब); अगर (abs (zn)< EPS)returnfalse; res.x=- det (m.c, m.b, n.c, n.b)/ zn; res.y=- det (m.a, m.c, n.a, n.c)/ zn;returntrue;} bool parallel (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS;} bool equivalent (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS &&abs(det (m.a, m.c, n.a, n.c))< EPS &&abs(det (m.b, m.c, n.b, n.c))< EPS;}

श्रृंखला से सबक " ज्यामितीय एल्गोरिदम»

नमस्कार प्रिय पाठक।

टिप 1: दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक कैसे ज्ञात करें

आइए तीन और नए कार्य लिखें।

LinesCross () फ़ंक्शन निर्धारित करेगा कि क्या एक दूसरे को काटनाचाहे दो खंड... इसमें वेक्टर उत्पादों का उपयोग करके खंडों की सापेक्ष स्थिति निर्धारित की जाती है। वेक्टर उत्पादों की गणना करने के लिए, हम एक फ़ंक्शन लिखेंगे - VektorMulti ()।

तुलना ऑपरेशन को लागू करने के लिए RealLess () फ़ंक्शन का उपयोग किया जाएगा "<” (строго меньше) для вещественных чисел.

कार्य 1। उनके निर्देशांक द्वारा दो खंड दिए गए हैं। एक प्रोग्राम तैयार करें जो निर्धारित करता है क्या ये खंड प्रतिच्छेद करते हैंचौराहे बिंदु खोजने के बिना।

समाधान
... दूसरा अंक द्वारा दिया जाता है।

एक खंड और बिंदुओं पर विचार करें और।

बिंदु सीधी रेखा के बाईं ओर स्थित है, इसके लिए वेक्टर उत्पाद > 0, क्योंकि सदिश धनात्मक रूप से अभिमुख होते हैं।

बिंदु सीधी रेखा के दाईं ओर स्थित है, इसके लिए क्रॉस उत्पाद< 0, так как векторы отрицательно ориентированы.

बिंदुओं के लिए और सीधी रेखा के विपरीत पक्षों पर स्थित होने के लिए, यह पर्याप्त है कि स्थिति< 0 (векторные произведения имели противоположные знаки).

इसी तरह के तर्क खंड और बिंदुओं के लिए किए जा सकते हैं और।

तो अगर , फिर खंड प्रतिच्छेद करते हैं।

इस स्थिति की जाँच करने के लिए, LinesCross () फ़ंक्शन का उपयोग करें, और वेक्टर उत्पादों की गणना करने के लिए, VektorMulti () फ़ंक्शन का उपयोग करें।

कुल्हाड़ी, ay - पहले वेक्टर के निर्देशांक,

बीएक्स, बाय - दूसरे वेक्टर के निर्देशांक।

कार्यक्रम geometr4; (क्या 2 खंड प्रतिच्छेद करते हैं?) Const _Eps: Real = 1e-4; (गणना की शुद्धता) var x1, y1, x2, y2, x3, y3, x4, y4: real; var v1, v2, v3, v4: real; फ़ंक्शन RealLess (Const a, b: Real): बूलियन; (कड़ाई से कम) रीयललेस शुरू करें: = बी-ए> _ईपीएस अंत; (RealLess) फंक्शन VektorMulti (ax, ay, bx, by: real): real; (कुल्हाड़ी, ay - निर्देशांक a bx, by - निर्देशांक b) प्रारंभ vektormulti: = ax * by-bx * ay; अंत; फंक्शन लाइन्सक्रॉस (x1, y1, x2, y2, x3, y3, x4, y4: real): बूलियन; (क्या खंड प्रतिच्छेद करते हैं?) प्रारंभ करें v1: = vektormulti (x4-x3, y4-y3, x1-x3, y1-y3); v2: = वेक्टरमल्टी (x4-x3, y4-y3, x2-x3, y2-y3); v3: = वेक्टरमल्टी (x2-x1, y2-y1, x3-x1, y3-y1); v4: = वेक्टरमल्टी (x2-x1, y2-y1, x4-x1, y4-y1); अगर रियललेस (v1 * v2,0) और रियललेस (v3 * v4,0) (v1v2<0 и v3v4<0, отрезки пересекаются} then LinesCross:= true else LinesCross:= false end; {LinesCross}begin {main} writeln(‘Введите координаты отрезков: x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4’); readln(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4); if LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4) then writeln (‘Да’) else writeln (‘Нет’) end.

कार्यक्रम निष्पादन परिणाम:

रेखा खंडों के निर्देशांक दर्ज करें: -1 1 2 2.52 2 1 -1 3
हाँ।

हमने यह निर्धारित करने के लिए एक प्रोग्राम लिखा था कि क्या उनके निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट रेखा खंड प्रतिच्छेद करते हैं।

अगले पाठ में, हम एक एल्गोरिथम की रचना करेंगे जिसके साथ यह निर्धारित करना संभव होगा कि कोई बिंदु त्रिभुज के अंदर है या नहीं।

प्रिय पाठक।

आप पहले ही कुछ ज्यामितीय एल्गोरिथम ट्यूटोरियल देख चुके हैं। क्या सब कुछ लिखा हुआ है? यदि आप इन पाठों पर प्रतिक्रिया छोड़ते हैं तो मैं आपका बहुत आभारी रहूंगा। शायद कुछ फाइनल करने की जरूरत है।

आदरपूर्वक तुम्हारा, वेरा गोस्पोडारेट्स।

मान लीजिए कि दो खंड दिए गए हैं। पहला अंक द्वारा दिया गया है पी 1 (एक्स 1; वाई 1)तथा पी 2 (एक्स 2; वाई 2)... दूसरा अंक द्वारा दिया गया है पी ३ (एक्स ३; वाई ३)तथा पी 4 (एक्स 4; वाई 4).

वेक्टर उत्पादों का उपयोग करके खंडों की सापेक्ष स्थिति की जाँच की जा सकती है:

खंड पर विचार करें पी 3 पी 4और अंक पी 1तथा पी २.

दूरसंचार विभाग पी 1सीधी रेखा के बाईं ओर स्थित है पी 3 पी 4, इसके लिए वेक्टर उत्पाद वी 1> 0चूंकि वैक्टर सकारात्मक रूप से उन्मुख होते हैं।
दूरसंचार विभाग पी २सीधी रेखा के दाईं ओर स्थित है, इसके लिए वेक्टर उत्पाद वी 2< 0 चूंकि वैक्टर नकारात्मक रूप से उन्मुख होते हैं।

इंगित करने के लिए पी 1तथा पी २एक सीधी रेखा के विपरीत पक्षों पर लेटें पी 3 पी 4, यह पर्याप्त है कि शर्त वी 1 वी 2< 0 (वेक्टर उत्पादों के विपरीत संकेत थे)।

खंड के लिए इसी तरह का तर्क दिया जा सकता है पी १ पी २और अंक पी ३तथा पी 4.

तो अगर वी 1 वी 2< 0 तथा वी 3 वी 4< 0 , फिर खंड प्रतिच्छेद करते हैं।

दो वैक्टर के क्रॉस उत्पाद की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

कहाँ पे:
कुल्हाड़ी, एय- पहले वेक्टर के निर्देशांक,
बीएक्स, द्वारा- दूसरे वेक्टर के निर्देशांक।

दो अलग-अलग बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण, उनके निर्देशांकों द्वारा दिया गया।

मान लीजिए कि एक सीधी रेखा पर दो गैर-संयोग बिंदु दिए गए हैं: पी 1निर्देशांक के साथ ( एक्स १; वाई १)तथा पी २निर्देशांक के साथ (एक्स २; वाई २).

सीधी रेखाओं का प्रतिच्छेदन

तदनुसार, बिंदु पर मूल के साथ वेक्टर पी 1और बिंदु पर समाप्त करें पी २निर्देशांक हैं (एक्स २-एक्स १, वाई २-वाई १)... अगर पी (एक्स, वाई)एक सीधी रेखा पर एक मनमाना बिंदु है, तो वेक्टर के निर्देशांक पी 1 पीबराबर हैं (एक्स - एक्स 1, वाई - वाई 1)।

वेक्टर उत्पाद का उपयोग करना, वैक्टर के लिए संपार्श्विकता की स्थिति पी 1 पीतथा पी १ पी २इस तरह लिखा जा सकता है:
| पी १ पी, पी १ पी २ | = ०, अर्थात। (x-x १) (y २-y १) - (y-y १) (x २-x १) = ०
या
(y 2 -y 1) x + (x 1 -x 2) y + x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1) = 0

अंतिम समीकरण निम्नानुसार फिर से लिखा गया है:
कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0, (1)
कहाँ पे
ए = (वाई 2-वाई 1),
बी = (एक्स 1 -एक्स 2),
सी = एक्स 1 (वाई 1-वाई 2) + वाई 1 (एक्स 2 -एक्स 1)

तो, एक सीधी रेखा को फॉर्म (1) के समीकरण द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता कैसे लगाएं?
स्पष्ट समाधान सीधी रेखाओं के लिए समीकरणों की प्रणाली को हल करना है:

कुल्हाड़ी १ + बटा १ = -सी १
कुल्हाड़ी 2 + बटा 2 = -सी 2 (2)

पदनाम दर्ज करें:

यहाँ डीप्रणाली का निर्धारक है, और डी एक्स, डी वाई- गुणांक के कॉलम को संबंधित अज्ञात कॉलम के साथ मुक्त शर्तों के साथ बदलने के परिणामस्वरूप प्राप्त निर्धारक। अगर डी 0, तो सिस्टम (2) निश्चित है, यानी इसका एक अनूठा समाधान है। यह समाधान निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है: एक्स 1 = डी एक्स / डी, वाई 1 = डी वाई / डीहैं, जिन्हें क्रैमर सूत्र कहते हैं। दूसरे क्रम के निर्धारक की गणना कैसे की जाती है, इसका एक छोटा सा अनुस्मारक। निर्धारक दो विकर्णों के बीच अंतर करता है: मुख्य और पार्श्व। मुख्य विकर्ण में पहचानकर्ता के ऊपरी बाएँ कोने से निचले दाएँ कोने में लिए गए तत्व होते हैं। पार्श्व विकर्ण ऊपरी दाएँ से निचले बाएँ तक है। दूसरे क्रम का निर्धारक मुख्य विकर्ण के तत्वों के गुणनफल के बराबर होता है जो द्वितीयक विकर्ण के तत्वों का गुणनफल होता है।

निर्देशांक विधि द्वारा एक ज्यामितीय समस्या को हल करने के लिए, एक चौराहे बिंदु की आवश्यकता होती है, जिसके निर्देशांक समाधान में उपयोग किए जाते हैं। एक स्थिति तब उत्पन्न होती है जब समतल में दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन के निर्देशांक खोजने या अंतरिक्ष में समान सीधी रेखाओं के निर्देशांक निर्धारित करने की आवश्यकता होती है। यह लेख उन बिंदुओं के निर्देशांक खोजने के मामलों की जाँच करता है जहाँ दी गई रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-३३९२८५-१

दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को परिभाषित करना आवश्यक है।

समतल पर सीधी रेखाओं की आपेक्षिक स्थिति पर अनुभाग दर्शाता है कि वे संपाती हो सकते हैं, समानांतर हो सकते हैं, एक सामान्य बिंदु पर प्रतिच्छेद कर सकते हैं या प्रतिच्छेद कर सकते हैं। अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाओं को प्रतिच्छेद करना कहा जाता है यदि उनमें एक उभयनिष्ठ बिंदु हो।

सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु की परिभाषा इस प्रकार है:

परिभाषा 1

वह बिंदु जिस पर दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, उनका प्रतिच्छेदन बिंदु कहलाता है। दूसरे शब्दों में, प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं का बिंदु प्रतिच्छेदन बिंदु होता है।

नीचे दिए गए चित्र में विचार करें।

दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजने से पहले, नीचे दिए गए उदाहरण पर विचार करना आवश्यक है।

यदि विमान में एक समन्वय प्रणाली O x y है, तो दो सीधी रेखाएँ a और b निर्दिष्ट हैं। लाइन ए फॉर्म ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 = 0 के सामान्य समीकरण से मेल खाती है, लाइन बी - ए 2 एक्स + बी 2 वाई + सी 2 = 0 के लिए। तब M 0 (x 0, y 0) समतल का कोई बिंदु है, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि बिंदु M 0 इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा या नहीं।

समस्या को हल करने के लिए, आपको परिभाषा का पालन करना होगा। फिर सीधी रेखाएं एक ऐसे बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं जिसके निर्देशांक दिए गए समीकरणों A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 और A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 के हल हैं। इसका मतलब है कि चौराहे के बिंदु के निर्देशांक दिए गए सभी समीकरणों में प्रतिस्थापित किए जाते हैं। यदि वे प्रतिस्थापित करने पर सही पहचान देते हैं, तो M 0 (x 0, y 0) को उनका प्रतिच्छेदन बिंदु माना जाता है।

उदाहरण 1

आपको दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाएँ 5 x - 2 y - 16 = 0 और 2 x - 5 y - 19 = 0 दी गई हैं। क्या निर्देशांक (2, - 3) के साथ बिंदु 0 प्रतिच्छेदन बिंदु होगा?

समाधान

रेखाओं का प्रतिच्छेदन वास्तविक होने के लिए, यह आवश्यक है कि बिंदु 0 के निर्देशांक रेखाओं के समीकरणों को संतुष्ट करें। यह उन्हें प्रतिस्थापित करके सत्यापित किया जाता है। हमें वह मिलता है

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 0 = 0

दोनों समानताएं सत्य हैं, इसलिए 0 (2, - 3) दी गई रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

आइए इस समाधान को नीचे दिए गए चित्र की निर्देशांक रेखा पर प्रदर्शित करें।

उत्तर:निर्देशांक के साथ निर्दिष्ट बिंदु (2, - 3) निर्दिष्ट रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

उदाहरण 2

क्या रेखाएँ 5 x + 3 y - 1 = 0 और 7 x - 2 y + 11 = 0 बिंदु M 0 (2, - 3) पर प्रतिच्छेद करती हैं?

समाधान

समस्या को हल करने के लिए, सभी समीकरणों में बिंदु के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। हमें वह मिलता है

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 31 = 0

दूसरी समानता सत्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि दिया गया बिंदु सीधी रेखा 7 x - 2 y + 11 = 0 से संबंधित नहीं है। अतः हमारे पास यह है कि बिंदु М 0 रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है।

आरेखण स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि M 0 रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है। उनके पास निर्देशांक (- 1, 2) के साथ एक सामान्य बिंदु है।

उत्तर:निर्देशांक वाला बिंदु (2, - 3) दी गई रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है।

हम समतल पर दिए गए समीकरणों का उपयोग करके दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक खोजने की ओर मुड़ते हैं।

दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाएँ a और b, O x y में स्थित A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 और A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 के रूप के समीकरणों द्वारा दी गई हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु M 0 को निर्दिष्ट करते समय, हम प्राप्त करते हैं कि निर्देशांक की खोज समीकरणों A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 और A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 के अनुसार जारी रहनी चाहिए।

परिभाषा से यह स्पष्ट है कि 0 रेखाओं के प्रतिच्छेदन का एक उभयनिष्ठ बिंदु है। इस स्थिति में, इसके निर्देशांकों को समीकरणों A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 और A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 को पूरा करना चाहिए। दूसरे शब्दों में, यह परिणामी प्रणाली A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 का समाधान है।

इसका मतलब है कि चौराहे के बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए, सिस्टम में सभी समीकरणों को जोड़ना और इसे हल करना आवश्यक है।

उदाहरण 3

समतल पर दो सीधी रेखाएँ x - 9 y + 14 = 0 और 5 x - 2 y - 16 = 0 दी गई हैं। उनका चौराहा खोजना आवश्यक है।

समाधान

समीकरण की स्थिति पर डेटा सिस्टम में एकत्र किया जाना चाहिए, जिसके बाद हमें x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 मिलता है। इसे हल करने के लिए, x के लिए पहला समीकरण हल किया जाता है, व्यंजक को दूसरे में प्रतिस्थापित किया जाता है:

x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 x = 9 y - 14 5 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 x = 4 y = 2

परिणामी संख्याएं खोजने के लिए निर्देशांक हैं।

उत्तर: M 0 (4, 2) x - 9 y + 14 = 0 और 5 x - 2 y - 16 = 0 रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए निर्देशांक की खोज कम हो जाती है। यदि शर्त द्वारा समीकरण का दूसरा रूप दिया जाता है, तो उसे उसके सामान्य रूप में लाया जाना चाहिए।

उदाहरण 4

सीधी रेखाओं x - 5 = y - 4 - 3 और x = 4 + 9 y = 2 + λ, R के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान

सबसे पहले, आपको समीकरणों को एक सामान्य रूप में लाने की आवश्यकता है। तब हम पाते हैं कि x = 4 + 9 y = 2 + , R इस प्रकार रूपांतरित होता है:

x = 4 + 9 λ y = 2 + = x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 1 (x - 4) = 9 (y - 2) एक्स - 9 वाई + 14 = 0

फिर हम विहित रूप x - 5 = y - 4 - 3 के समीकरण को लेते हैं और रूपांतरित करते हैं। हमें वह मिलता है

x - 5 = y - 4 - 3 - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

इसलिए हमारे पास है कि निर्देशांक प्रतिच्छेदन बिंदु हैं

x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20

आइए निर्देशांक खोजने के लिए क्रैमर की विधि लागू करें:

= 1 - 9 3 - 5 = 1 (- 5) - (- 9) 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 (- 5) - (- 9) - 20) = - 110 x = ∆ x = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 (- 20) - (- 14) 3 = 22 y = y = 22 22 = 1

उत्तर:एम 0 (- 5, 1)।

समतल पर सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने का एक तरीका भी है। यह तब लागू होता है जब एक सीधी रेखा x = x 1 + a x · y = y 1 + a y · , R के पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा दी जाती है। फिर, मान x के बजाय, x = x 1 + ax और y = y 1 + ay को प्रतिस्थापित किया जाता है, जहाँ हमें निर्देशांक x 1 + ax λ 0, y 1 + वाले प्रतिच्छेदन बिंदु के संगत = 0 प्राप्त होता है। अय 0.

उदाहरण 5

सीधी रेखा x = 4 + 9 λ y = 2 + , R और x - 5 = y - 4 - 3 के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान

x - 5 = y - 4 - 3 में व्यंजक x = 4 + 9 , y = 2 + द्वारा प्रतिस्थापित करना आवश्यक है, तो हम प्राप्त करते हैं:

4 + 9 - 5 = 2 + - 4 - 3

हल करते समय, हम पाते हैं कि = - 1. इसका तात्पर्य है कि रेखाओं x = 4 + 9 λ y = 2 + , R और x - 5 = y - 4 - 3 के बीच एक प्रतिच्छेदन बिंदु है। निर्देशांक की गणना करने के लिए, पैरामीट्रिक समीकरण में व्यंजक = - 1 को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। तब हम पाते हैं कि x = 4 + 9 (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1।

उत्तर:एम 0 (- 5, 1)।

विषय को पूरी तरह से समझने के लिए, आपको कुछ बारीकियों को जानना होगा।

सबसे पहले, आपको सीधी रेखाओं के स्थान को समझने की आवश्यकता है। जब वे प्रतिच्छेद करते हैं, तो हम निर्देशांक पाएंगे; अन्य मामलों में, कोई समाधान नहीं होगा। इस जांच को न करने के लिए, आप ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 = 0 ए 2 एक्स + बी 2 + सी 2 = 0 फॉर्म की एक प्रणाली बना सकते हैं यदि कोई समाधान है, तो हम निष्कर्ष निकालते हैं कि रेखाएं प्रतिच्छेद करना यदि कोई हल नहीं है, तो वे समानांतर हैं। जब एक प्रणाली में अनंत संख्या में समाधान होते हैं, तो उन्हें वही कहा जाता है।

उदाहरण 6

आपको सीधी रेखाएँ x 3 + y - 4 = 1 और y = 4 3 x - 4 दी गई हैं। निर्धारित करें कि क्या उनके पास एक सामान्य बिंदु है।

समाधान

दिए गए समीकरणों को सरल बनाने पर, हमें 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 और 4 3 x - y - 4 = 0 प्राप्त होता है।

बाद के समाधान के लिए समीकरणों को एक प्रणाली में एकत्र करना आवश्यक है:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

इसलिए यह स्पष्ट है कि समीकरणों को एक दूसरे के माध्यम से व्यक्त किया जाता है, तो हमें समाधान का एक अनंत सेट मिलता है। तब समीकरण x 3 + y - 4 = 1 और y = 4 3 x - 4 एक ही रेखा को परिभाषित करते हैं। इसलिए, कोई चौराहे बिंदु नहीं हैं।

उत्तर:दिए गए समीकरण समान सीधी रेखा को परिभाषित करते हैं।

उदाहरण 7

प्रतिच्छेदी रेखाओं 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 और 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 के बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान

शर्त के अनुसार, यह संभव है, सीधी रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं करेंगी। समीकरणों की एक प्रणाली बनाना और हल करना आवश्यक है। समाधान के लिए, गाऊसी पद्धति का उपयोग करना आवश्यक है, क्योंकि इसकी सहायता से संगतता के लिए समीकरण की जांच करना संभव है। हमें फॉर्म की एक प्रणाली मिलती है:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) (- (3 + 2)) = 1 + - 7 ( - (3 + 2)) 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

हमें गलत समानता मिली, जिसका अर्थ है कि व्यवस्था के पास कोई समाधान नहीं है। हम निष्कर्ष निकालते हैं कि रेखाएँ समानांतर हैं। कोई चौराहे बिंदु नहीं हैं।

दूसरा उपाय।

पहले आपको लाइनों के चौराहे की उपस्थिति निर्धारित करने की आवश्यकता है।

n 1 → = (2, 2 - 3) रेखा 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 का प्रसामान्य सदिश है, तो सदिश n 2 → = (2 (3 + 2), - 7 है रेखा 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 के लिए सामान्य वेक्टर।

वैक्टर n 1 → = (2, 2 - 3) और n 2 → = (2 (3 + 2), - 7) की संरेखता की जांच करना आवश्यक है। हमें 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7 के रूप की समानता प्राप्त होती है। यह सही है क्योंकि 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0. यह इस प्रकार है कि वेक्टर संरेख हैं। इसका मतलब है कि रेखाएं समानांतर हैं और कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है।

उत्तर:कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं हैं, रेखाएँ समानांतर हैं।

उदाहरण 8

दी गई रेखाओं 2 x - 1 = 0 और y = 5 4 x - 2 के प्रतिच्छेदन के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान

इसे हल करने के लिए, हम समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं। हम पाते हैं

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 2 x = 1 5 4 x - y = 2

आइए मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक का पता लगाएं। ऐसा करने के लिए, 2 0 5 4 - 1 = 2 (- 1) - 0 5 4 = - 2। चूंकि यह शून्य के बराबर नहीं है, सिस्टम का 1 समाधान है। यह इस प्रकार है कि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। आइए चौराहे के बिंदुओं के निर्देशांक खोजने के लिए सिस्टम को हल करें:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 x = 1 2 4 5 x - y = 2 x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 x = 1 2 y = - 11 8

हमने पाया कि दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक M 0 (1 2, - 11 8) हैं।

उत्तर:एम 0 (1 2, - 11 8) .

अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना

इसी तरह, अंतरिक्ष में रेखाओं के प्रतिच्छेदन के बिंदु पाए जाते हैं।

जब निर्देशांक तल O xyz में सीधी रेखाएँ a और b को प्रतिच्छेदी तलों के समीकरणों द्वारा दिया जाता है, तो एक सीधी रेखा a होती है, जिसे दिए गए सिस्टम A 1 x + B 1 y + C 1 z + का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। डी 1 = 0 ए 2 एक्स + बी 2 वाई + सी 2 जेड + डी 1 = 0 एक सीधी रेखा बी - ए 3 एक्स + बी 3 वाई + सी 3 जेड + डी 3 = 0 ए 4 एक्स + बी 4 वाई + सी 4 जेड + डी 4 = 0।

जब बिंदु 0 सीधी रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु हो, तो इसके निर्देशांक दोनों समीकरणों के हल होने चाहिए। हमें सिस्टम में रैखिक समीकरण मिलते हैं:

ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 जेड + डी 1 = 0 ए 2 एक्स + बी 2 वाई + सी 2 जेड + डी 2 = 0 ए 3 एक्स + बी 3 वाई + सी 3 जेड + डी 3 = 0 ए 4 एक्स + बी 4 वाई + सी 4 जेड + डी 4 = 0

आइए उदाहरणों के साथ समान कार्यों पर विचार करें।

उदाहरण 9

दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 और 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

समाधान

सिस्टम x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 बनाएं और इसे हल करें। निर्देशांक खोजने के लिए, एक मैट्रिक्स के माध्यम से हल करना आवश्यक है। तब हमें फॉर्म ए = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 का मुख्य मैट्रिक्स मिलता है और विस्तारित एक टी = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4। मैट्रिक्स के गाऊसी रैंक का निर्धारण करें।

हमें वह मिलता है

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

यह इस प्रकार है कि संवर्धित मैट्रिक्स की रैंक 3 है। तब समीकरणों का निकाय x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 परिणामतः केवल एक हल देता है।

बेस माइनर में सारणिक 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 0 है, तो अंतिम समीकरण फिट नहीं होता है। हम प्राप्त करते हैं x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3. निकाय का हल x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 x = 1 z = 0 y = - 3।

इसलिए, हमारे पास प्रतिच्छेदन बिंदु x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 और 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 के निर्देशांक (1, - 3, 0) हैं। .

उत्तर: (1 , - 3 , 0) .

फॉर्म की प्रणाली ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 जेड + डी 1 = 0 ए 2 एक्स + बी 2 वाई + सी 2 जेड + डी 2 = 0 ए 3 एक्स + बी 3 वाई + सी 3 जेड + डी 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 का केवल एक ही हल है। अतः रेखाएँ a और b प्रतिच्छेद करती हैं।

अन्य मामलों में, समीकरण का कोई हल नहीं है, अर्थात कोई उभयनिष्ठ बिंदु भी नहीं हैं। यही है, निर्देशांक के साथ एक बिंदु खोजना असंभव है, क्योंकि कोई नहीं है।

इसलिए, A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z के रूप की एक प्रणाली + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 को गाऊसी विधि द्वारा हल किया जाता है। यदि यह असंगत है, तो सीधी रेखाएं प्रतिच्छेद नहीं कर रही हैं। यदि अनंत संख्या में समाधान हैं, तो वे मेल खाते हैं।

आप मैट्रिक्स के आधार और विस्तारित रैंक की गणना करके एक समाधान बना सकते हैं, और फिर क्रोनकर-कैपेली प्रमेय लागू कर सकते हैं। हमें समाधान का एक, कई या पूर्ण अभाव मिलता है।

उदाहरण 10

सरल रेखाओं x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 और x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 के समीकरण दिए गए हैं। प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

समाधान

सबसे पहले, आइए समीकरणों की एक प्रणाली को एक साथ रखें। हमें x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 मिलता है। हम इसे गॉस विधि द्वारा हल करते हैं:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

जाहिर है, सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है, इसलिए रेखाएं प्रतिच्छेद नहीं करती हैं। कोई चौराहा बिंदु नहीं है।

उत्तर:कोई चौराहा बिंदु नहीं।

यदि शंक्वाकार या पैरामीट्रिक समीकरणों का उपयोग करके सीधी रेखाएँ दी गई हैं, तो आपको प्रतिच्छेद करने वाले विमानों के समीकरणों के रूप को कम करने की आवश्यकता है, और फिर निर्देशांक खोजें।

उदाहरण 11

O x y z में दो सीधी रेखाएं x = - 3 - y = - 3 λ z = - 2 + 3 , R और x 2 = y - 3 0 = z 5। प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

समाधान

हम सीधी रेखाओं को दो प्रतिच्छेदी तलों के समीकरणों द्वारा परिभाषित करते हैं। हमें वह मिलता है

x = - ३ - y = - ३ z = - २ + ३ = x + ३ - १ = y - ३ = z + २ ३ x + ३ - १ = y -3 = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 y - ३ = ० x २ = z ५ y - ३ = ० ५ x - २ z = ०

निर्देशांक खोजें 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0, इसके लिए हम मैट्रिक्स के रैंक की गणना करते हैं। मैट्रिक्स की रैंक 3 है, और बेस माइनर 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 0 है, जिसका अर्थ है कि अंतिम समीकरण को सिस्टम से बाहर रखा जाना चाहिए। हमें वह मिलता है

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

आइए क्रेमर पद्धति का उपयोग करके सिस्टम को हल करें। हमें x = - 2 y = 3 z = - 5 प्राप्त होता है। इसलिए, हम पाते हैं कि दी गई रेखाओं का प्रतिच्छेदन निर्देशांक (- 2, 3, - 5) के साथ एक बिंदु देता है।

उत्तर: (- 2 , 3 , - 5) .

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लंबवत रेखा

यह कार्य शायद स्कूली पाठ्यपुस्तकों में सबसे लोकप्रिय और मांग में से एक है। इस विषय पर आधारित कार्य कई गुना हैं। यह दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु की परिभाषा है, यह मूल सीधी रेखा पर किसी बिंदु से किसी कोण पर गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण की परिभाषा है।

हम की सहायता से प्राप्त आंकड़ों का उपयोग करके इस विषय को कवर करेंगे

यह वहाँ था कि एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को एक ढलान और इसके विपरीत समीकरण में बदलने पर विचार किया गया था, और दी गई शर्तों के अनुसार एक सीधी रेखा के शेष मापदंडों का निर्धारण।

यह पृष्ठ जिन समस्याओं के लिए समर्पित है, उन्हें हल करने के लिए हमारे लिए क्या पर्याप्त नहीं है?

1. दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं के बीच के कोणों में से एक की गणना के लिए सूत्र।

यदि हमारे पास दो सीधी रेखाएँ हैं जो समीकरणों द्वारा दी गई हैं:

फिर कोणों में से एक की गणना निम्नानुसार की जाती है:

2. किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण

सूत्र 1 से हम दो सीमा रेखा वाले राज्य देख सकते हैं

a) जब तब और इसलिए ये दो दी गई रेखाएँ समानांतर (या संपाती) हों

बी) जब, तब, और इसलिए ये सीधी रेखाएं लंबवत होती हैं, अर्थात वे समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।

दी गई सीधी रेखा को छोड़कर ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए कौन-सा प्रारंभिक डेटा हो सकता है?

एक रेखा पर एक बिंदु और वह कोण जिस पर दूसरी रेखा इसे काटती है

सीधी रेखा का दूसरा समीकरण

एक बॉट किन कार्यों को हल कर सकता है?

1. दो सीधी रेखाएँ दी गई हैं (स्पष्ट रूप से या परोक्ष रूप से, उदाहरण के लिए, दो बिंदुओं के साथ)। प्रतिच्छेदन बिंदु और उन कोणों की गणना करें जिन पर वे प्रतिच्छेद करते हैं।

2. एक सीधी रेखा, एक सीधी रेखा पर एक बिंदु और एक कोण दिया गया है। एक सीधी रेखा के समीकरण का निर्धारण करें जो एक निर्दिष्ट कोण पर दिए गए को छोड़ देता है

इसके उदाहरण

दो सीधी रेखाएँ समीकरणों द्वारा दी जाती हैं। इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु और वे कोण जिन पर वे प्रतिच्छेद करती हैं, ज्ञात कीजिए

लाइन_पी ए = 11; बी = -5; सी = 6, के = 3/7; बी = -5

हमें निम्नलिखित परिणाम मिलते हैं

पहली पंक्ति का समीकरण

वाई = 2.2 एक्स + (1.2)

दूसरी पंक्ति का समीकरण

y = ०.४२८५७१४२८५७१४ x + (-५)

दो सीधी रेखाओं का प्रतिच्छेदन कोण (डिग्री में)

-42.357454705937

दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु

एक्स = -3.5

वाई = -6.5

यह मत भूलो कि दो पंक्तियों के मापदंडों को अल्पविराम से अलग किया जाता है, और प्रत्येक पंक्ति के मापदंडों को अर्धविराम द्वारा अलग किया जाता है।

सीधी रेखा दो बिंदुओं (1: -4) और (5: 2) से होकर गुजरती है। उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु (-2: -8) से होकर जाती है और मूल रेखा को 30 डिग्री के कोण पर काटती है।

एक सीधी रेखा हमें ज्ञात है, क्योंकि हम दो बिंदुओं को जानते हैं जिनसे होकर यह गुजरती है।

यह दूसरी पंक्ति के समीकरण को निर्धारित करने के लिए बनी हुई है। हम एक बिंदु को जानते हैं, और दूसरे के बजाय, वह कोण जिस पर पहली रेखा दूसरी को काटती है, इंगित किया गया है।

ऐसा लगता है कि सब कुछ ज्ञात है, लेकिन यहां मुख्य बात गलत नहीं है। हम कोण (30 डिग्री) के बारे में बात कर रहे हैं, एब्सिस्सा अक्ष और रेखा के बीच नहीं, बल्कि पहली और दूसरी पंक्तियों के बीच।

ऐसा करने के लिए, हम इस तरह पोस्ट करते हैं। आइए पहली पंक्ति के मापदंडों को परिभाषित करें, और पता करें कि यह किस कोण पर एब्सिस्सा अक्ष को पार करता है।

रेखा xa = 1; xb = 5; या = -4; yb = 2

सामान्य समीकरण कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0

गुणांक ए = -6

गुणांक बी = 4

गुणांक सी = 22

गुणांक a = ३.६६६६६६६६६६६६६६६६७

गुणांक बी = -5.5

गुणांक k = १.५

अक्ष पर झुकाव कोण (डिग्री में) f = ५६.३०९९३२४७४०१९

गुणांक पी = 3.0508510792386

गुणांक क्यू = 2.5535900500422

बिंदुओं के बीच की दूरी = 7.211102550928

हम देखते हैं कि पहली रेखा अक्ष को कोण पर काटती है 56.309932474019 डिग्री।

मूल डेटा यह नहीं बताता कि दूसरी पंक्ति, पहली, कैसे पार करती है। आखिरकार, आप शर्तों को पूरा करने वाली दो लाइनें बना सकते हैं, पहली 30 डिग्री दक्षिणावर्त घुमाई जाती है, और दूसरी 30 डिग्री वामावर्त।

आइए उन्हें प्राप्त करें और उन्हें गिनें

यदि दूसरी पंक्ति को 30 डिग्री वामावर्त घुमाया जाता है, तो दूसरी पंक्ति में एब्सिस्सा अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन की डिग्री होगी 30+56.309932474019 = 86 .309932474019 डिग्री

लाइन_पी एक्सए = -2; या = -8; एफ = ८६.३०९९३२४७४०१९

निर्दिष्ट पैरामीटर द्वारा सीधी रेखा पैरामीटर

सामान्य समीकरण कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0

गुणांक = २३.०१११०६९९८९१६

गुणांक बी = -1.4840558255286

गुणांक सी = ३४.१४९७६७३९३६०३

खंड x / a + y / b = 1 . में एक सीधी रेखा का समीकरण

गुणांक a = -1.4840558255286

गुणांक बी = २३.०१११०६९९८९१६

y = kx + b . के कोणीय गुणांक वाली एक सीधी रेखा का समीकरण

गुणांक k = १५.५०५५५५३४९९४५८

अक्ष पर झुकाव कोण (डिग्री में) f = ८६.३०९९३२४७४०१९

सीधी रेखा का सामान्य समीकरण x * cos (q) + y * sin (q) -p = 0

गुणांक पी = -1.4809790664999

गुणांक क्यू = 3.0771888256405

बिंदुओं के बीच की दूरी = 23.058912962428

बिंदु से रेखा की दूरी li =

अर्थात्, हमारी दूसरी पंक्ति का समीकरण y = . है 15.505553499458x+ 23.011106998916