बीजगणित के कक्षा में 7 वीं कक्षा में गणित में डिग्री की अवधारणा पेश की गई है। और भविष्य में, गणित के अध्ययन के दौरान, इस अवधारणा को सक्रिय रूप से विभिन्न प्रकारों में उपयोग किया जाता है। डिग्री एक कठिन विषय है, मूल्यों और कौशल के भंडारण की सही ढंग से और जल्दी से गिनती है। गणित की डिग्री के साथ तेज़ और उच्च गुणवत्ता वाले काम के लिए, डिग्री के गुणों का आविष्कार किया गया था। वे बड़ी गणना को कम करने में मदद करते हैं, एक विशाल उदाहरण को किसी भी हद तक एक संख्या में परिवर्तित करते हैं। गुण इतने ज्यादा नहीं हैं, और वे सभी आसानी से याद किए जाते हैं और अभ्यास में लागू होते हैं। इसलिए, लेख डिग्री के मूल गुणों पर चर्चा करता है, साथ ही वे कहां लागू होते हैं।
डिग्री की गुण
हम डिग्री के 12 गुणों को देखेंगे, जिसमें एक ही अड्डों के साथ डिग्री के गुण शामिल हैं, और प्रत्येक संपत्ति के लिए हम एक उदाहरण देते हैं। इनमें से प्रत्येक गुण आपको डिग्री के साथ कार्यों को हल करने के साथ-साथ आपको कई कंप्यूटिंग त्रुटियों से बचाने में मदद करेगा।
पहली संपत्ति।
कई अक्सर इस संपत्ति के बारे में भूल जाते हैं, गलतियां करते हैं, शून्य डिग्री शून्य के रूप में संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं।
दूसरी संपत्ति।
तीसरी संपत्ति।
यह याद रखना चाहिए कि यह संपत्ति केवल तभी लागू की जा सकती है जब संख्याएं की जाती हैं, यह राशि के साथ काम नहीं करती है! और हमें यह नहीं भूलना चाहिए कि यह निम्नलिखित है, गुण केवल उसी आधार के साथ डिग्री पर लागू होते हैं।
चौथी संपत्ति।
यदि एक संख्या को नकारात्मक डिग्री में नकारात्मक डिग्री में बनाया जाता है, तो जब डेनोमिनेटर की डिग्री को घटा देना तो कोष्ठक में ले जाया जाता है ताकि आगे कंप्यूटिंग पर संकेत को सही तरीके से प्रतिस्थापित किया जा सके।
संपत्ति केवल विभाजन के दौरान काम करती है, घटाने के दौरान लागू नहीं होती है!
5 वीं संपत्ति।
6 वीं संपत्ति।
इस संपत्ति को विपरीत दिशा में लागू किया जा सकता है। इकाई कुछ हद तक विभाजित इकाई एक ऋण की डिग्री में संख्या है।
7 वीं संपत्ति।
इस संपत्ति को योग और अंतर पर लागू नहीं किया जा सकता है! जब राशि या अंतर बनाया जाता है, तो संक्षिप्त गुणा के सूत्रों का उपयोग किया जाता है, न कि डिग्री गुण।
8 वीं संपत्ति।
9 वीं संपत्ति।
यह संपत्ति किसी भी अंशमय डिग्री के लिए काम करती है जिसमें एक संख्या के बराबर होती है, सूत्र समान होगा, केवल मूल डिग्री denominator के आधार पर अलग-अलग होगी।
इसके अलावा, इस संपत्ति का उपयोग अक्सर रिवर्स ऑर्डर में किया जाता है। संख्या में से किसी भी डिग्री की जड़ को रूट की डिग्री से विभाजित डिग्री इकाई की संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है। यदि रूट नहीं निकाला जाता है तो यह संपत्ति मामलों में बहुत उपयोगी होती है।
10 वीं संपत्ति।
यह संपत्ति न केवल एक वर्ग रूट और दूसरी डिग्री के साथ काम करती है। यदि रूट की डिग्री और डिग्री जिसमें यह रूट होता है, तो वे मेल खाते हैं, जवाब फीडिंग अभिव्यक्ति होगी।
11 वीं संपत्ति।
इस संपत्ति को विशाल कंप्यूटिंग से खुद से छुटकारा पाने का निर्णय लेने पर समय पर देखने में सक्षम होना चाहिए।
12 वीं संपत्ति।
इनमें से प्रत्येक गुण आपको कार्यों में दोहराएगा, इसे अपने शुद्ध रूप में दिया जा सकता है, और उन्हें कुछ परिवर्तनों और अन्य सूत्रों के उपयोग की आवश्यकता हो सकती है। इसलिए, सही समाधान के लिए, केवल गुण केवल जानते हैं, आपको अन्य गणितीय ज्ञान का अभ्यास और कनेक्ट करने की आवश्यकता है।
डिग्री और उनके गुणों का उपयोग
वे बीजगणित और ज्यामिति में सक्रिय रूप से उपयोग किए जाते हैं। गणित में डिग्री एक अलग, महत्वपूर्ण जगह है। उनकी मदद के साथ, संकेतक समीकरणों और असमानताओं को हल किया जाता है, साथ ही डिग्री अक्सर गणित के अन्य वर्गों से संबंधित समीकरणों और उदाहरणों को जटिल होती है। डिग्री बड़ी और लंबी गणना से बचने में मदद करती है, डिग्री को कम करना और गणना करना आसान होता है। लेकिन बड़ी डिग्री के साथ काम करने के लिए, या बड़ी संख्या में डिग्री के साथ, आपको न केवल डिग्री गुणों को जानने की जरूरत है, बल्कि सही ढंग से और आधार के साथ, कार्य को सुविधाजनक बनाने के लिए उन्हें विघटित करने में सक्षम होना चाहिए। सुविधा के लिए, डिग्री में बनाए गए नंबरों का मूल्य ज्ञात होना चाहिए। यह लंबे समय से कंप्यूटिंग की आवश्यकता को खत्म करने के दौरान आपके समय को कम करेगा।
डिग्री की अवधारणा लॉगरिदम में एक विशेष भूमिका निभाती है। चूंकि लॉगरिदम, संक्षेप में, संख्या की डिग्री है।
संक्षिप्त गुणा सूत्र डिग्री के उपयोग का एक और उदाहरण है। उन्हें डिग्री के गुणों द्वारा उपयोग नहीं किया जा सकता है, उन्हें विशेष नियमों के अनुसार खुलासा किया जाता है, लेकिन संक्षिप्त गुणा के प्रत्येक सूत्र में हमेशा मौजूद होता है।
भौतिकी और कंप्यूटर विज्ञान में समान डिग्री सक्रिय रूप से उपयोग की जाती है। एसआई सिस्टम के सभी स्थानान्तरण डिग्री का उपयोग करके निर्मित होते हैं, और भविष्य में, डिग्री के गुणों को समस्याओं को हल करने में उपयोग किया जाता है। इन्फोर्मेटिक्स खाते की सुविधा के लिए सक्रिय रूप से व्यापक डिग्री का उपयोग कर रहे हैं और संख्याओं की धारणा को सरल बनाते हैं। माप या कार्यों के साथ-साथ भौतिकी में इकाइयों की इकाइयों के हस्तांतरण के लिए आगे की गणना, डिग्री गुणों का उपयोग करके होती है।
यहां तक \u200b\u200bकि डिग्री खगोल विज्ञान में बहुत उपयोगी होती है, डिग्री के गुणों के उपयोग को लागू करना शायद ही संभव है, लेकिन डिग्री सक्रिय रूप से विभिन्न मात्राओं और दूरी की रिकॉर्डिंग को कम करने के लिए उपयोग की जाती है।
डिग्री, वॉल्यूम, दूरी की गणना में, सामान्य जीवन में डिग्री का उपयोग किया जाता है।
डिग्री की मदद से, यह विज्ञान के किसी भी क्षेत्र में बहुत बड़े और बहुत छोटे मूल्यों को लिखा जाता है।
संकेतक समीकरण और असमानताएं
डिग्री की संपत्ति का एक विशेष स्थान संकेतक समीकरणों और असमानताओं में स्थित है। इन कार्यों को अक्सर स्कूल के पाठ्यक्रम और परीक्षा में पाया जाता है। उन सभी को डिग्री गुणों के उपयोग के माध्यम से हल किया जाता है। अज्ञात हमेशा डिग्री में है, इसलिए सभी गुणों को जानना, इस तरह के समीकरण या असमानता को हल करना मुश्किल नहीं है।
सूत्रों की डिग्री संक्षेप की प्रक्रिया में उपयोग किया जाता है और समीकरणों और असमानताओं को हल करने में जटिल अभिव्यक्तियों को सरल बनाता है।
संख्या सी। है एक एनछोटी डिग्री ए। कब अ:
डिग्री के साथ संचालन।
1. उसी आधार के साथ डिग्री गुणा करना, उनके संकेतक गुना:
एक एम।· एक n \u003d a m + n।
2. उसी आधार के साथ डिग्री को विभाजित करने में, उनके संकेतक कटौती की जाती हैं:
3. 2 या अधिक गुणक के काम की डिग्री इन कारकों के उत्पाद के बराबर है:
(एबीसी ...) एन \u003d एन एन बी एन एन सी एन ...
4. अंश की डिग्री विभाजन और विभाजक की डिग्री के अनुपात के बराबर है:
(ए / बी) एन \u003d एन / बी एन।
5. डिग्री की डिग्री की डिग्री, डिग्री के संकेतक लंबे समय तक हैं:
(एक एम) एन \u003d ए एम एन।
प्रत्येक उपरोक्त सूत्र बाएं से दाएं दिशाओं में सही है और इसके विपरीत।
उदाहरण के लिए. (2 · 3 · 5/15) ² \u003d 2² · 3² · 5² / 15 ² \u003d 900/225 \u003d 4.
रूट संचालन।
1. कई कारकों के काम की जड़ इन कारकों की जड़ों के उत्पाद के बराबर है:
2. रिश्ते की जड़ जड़ों के विभाजन और विभाजक के दृष्टिकोण के बराबर है:
3. जब रूट बनाया जाता है, तो यह इस डिग्री में काफी बनाया गया है।
4. यदि आप जड़ की डिग्री में वृद्धि करते हैं एन एक बार और एक ही समय में निर्माण एनफ़ीड नंबर की डिग्री, रूट का मूल्य नहीं बदलेगा:
5. यदि आप रूट डिग्री को कम करते हैं एन एक बार और एक ही समय में जड़ निकालें एनएक कम संख्या से डिग्री, रूट का मूल्य नहीं बदलेगा:
एक नकारात्मक संकेतक के साथ डिग्री।एक निर्विवाद (संपूर्ण) संकेतक के साथ एक निश्चित संख्या की डिग्री एक इकाई के रूप में निर्धारित की जाती है जो गैर-सकारात्मक संकेतक के पूर्ण मूल्य के बराबर संकेतक के साथ एक संकेतक के साथ विभाजित इकाई के रूप में निर्धारित होती है:
सूत्र एक एम।: ए एन \u003d ए एम - एन न केवल पर इस्तेमाल किया जा सकता है म।> एन लेकिन म।< एन.
उदाहरण के लिए. ए। 4: एक 7 \u003d ए 4 - 7 \u003d ए -3.
सूत्र के लिए एक एम।: ए एन \u003d ए एम - एन के रूप में उचित हो गया एम \u003d एनएक शून्य डिग्री की उपस्थिति की आवश्यकता है।
शून्य संकेतक के साथ डिग्री।शून्य संकेतक के साथ शून्य के बराबर संख्या के बराबर संख्या की डिग्री की डिग्री एक के बराबर है।
उदाहरण के लिए. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
आंशिक संकेतक के साथ डिग्री।एक वैध संख्या बनाने के लिए लेकिन अ डिग्री में एम / एन।, जड़ को निकालने के लिए आवश्यक है एनकी डिग्री म।इस संख्या की डिग्री लेकिन अ.
यदि आपको कुछ विशेष संख्या को डिग्री में बनाने की आवश्यकता है, तो आप उपयोग कर सकते हैं। और अब हम विस्तार से अंतिम करेंगे डिग्री की गुण.
घातीय संख्या महान अवसर खोलें, वे हमें गुणा को जोड़ने की अनुमति देते हैं, और गुणा करने की तुलना में इसे फोल्ड करना बहुत आसान है।
उदाहरण के लिए, हमें 16 से 64 गुणा करने की आवश्यकता है। इन दो संख्याओं को गुणा करने से उत्पाद 1024 है। लेकिन 16 4 × 4 है, और 64 4x4x4 है। यही है, 16 पर 64 \u003d 4x4x4x4x4, जो 1024 के बराबर भी है।
संख्या 16 को 2x2x2x2, और 64 के रूप में भी 2x2x2x2x2x2 के रूप में दर्शाया जा सकता है, और यदि आप गुणा उत्पन्न करते हैं, तो हम फिर से 1024 प्राप्त करते हैं।
और अब हम नियम का उपयोग करते हैं। 16 \u003d 4 2, या 2 4, 64 \u003d 4 3, या 2 6, एक ही समय में 1024 \u003d 6 4 \u003d 4 5, या 2 10।
नतीजतन, हमारे कार्य को अलग-अलग लिखा जा सकता है: 4 2 x4 3 \u003d 4 5 या 2 4 x2 6 \u003d 2 10, और हर बार जब हम 1024 प्राप्त करते हैं।
हम कई समान उदाहरणों को हल कर सकते हैं और देखते हैं कि डिग्री के साथ संख्याओं का गुणा कम हो जाता है डिग्री संकेतक का प्रशासन, या प्रदर्शक, बेशक, बशर्ते कि कारकों की नींव बराबर हो।
इस प्रकार, हम गुणा उत्पादन के बिना, तुरंत कह सकते हैं कि 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20।
यह नियम डिग्री के साथ संख्याओं को विभाजित करते समय भी मान्य है, लेकिन इस मामले में प्रदर्शनी से विभाजक का csponent काटा जाता है। इस प्रकार, 2 5: 2 3 \u003d 2 2, जो पारंपरिक संख्या में 32: 8 \u003d 4 है, वह 2 2 है। आइए सारांशित करें:
एक एम एक्स ए एन \u003d ए एम + एन, ए एम: ए एन \u003d ए एम-एन, जहां एम और एन पूर्णांक हैं।
पहली नज़र में, ऐसा लगता है कि बहुतायत के साथ संख्याओं का गुणा और विभाजन बहुत सुविधाजनक नहीं, क्योंकि आपको पहले घातीय रूप में एक संख्या जमा करना होगा। संख्या 8 और 16 के इस रूप में कल्पना करना आसान है, यह है, 2 3 और 2 4, लेकिन संख्या 7 और 17 के साथ इसे कैसे करें? या उन मामलों में कैसे करें जहां संख्या को घातीय रूप में दर्शाया जा सकता है, लेकिन संख्याओं के घातीय अभिव्यक्तियों की नींव बहुत भिन्न होती है। उदाहरण के लिए, 8 × 9 2 3 x3 2 है, और इस मामले में हम प्रदर्शकों को सारांशित नहीं कर सकते हैं। न ही 2 5 और नो 3 5 का उत्तर दिया गया है, जवाब इन दो संख्याओं के बीच अंतराल में भी झूठ नहीं बोलता है।
तो क्या यह इस विधि के साथ गड़बड़ करने के लायक है? निश्चित रूप से इसके लायक है। यह विशेष रूप से जटिल और समय लेने वाली गणनाओं के साथ भारी फायदे देता है।
प्रथम स्तर
डिग्री और गुण। संपूर्ण गाइड (2019)
आपको क्यों चाहिए? वे आपके पास कहां आएंगे? आपको अपने अध्ययन पर समय बिताने की आवश्यकता क्यों है?
डिग्री के बारे में सब कुछ जानने के लिए, रोजमर्रा की जिंदगी में अपने ज्ञान का उपयोग करने के तरीके के बारे में उन्हें क्या चाहिए इस आलेख को पढ़ें।
और, ज़ाहिर है, डिग्री का ज्ञान आपको ओगे या ईज के सफल आत्मसमर्पण के करीब लाएगा और अपने सपनों के विश्वविद्यालय में प्रवेश करेगा।
चलो चलो ... (चले गए!)
महत्वपूर्ण टिप्पणी! यदि सूत्रों के बजाय आप Abracadabra देखते हैं, कैश साफ करें। ऐसा करने के लिए, CTRL + F5 (Windows पर) या CMD + R (मैक पर) पर क्लिक करें।
प्रथम स्तर
यह अभ्यास एक ही गणितीय ऑपरेशन है जो अतिरिक्त, घटाव, गुणा या विभाजन के रूप में है।
अब मैं सभी मानव भाषा को बहुत ही सरल उदाहरणों पर समझाऊंगा। ध्यान दें। प्राथमिक के उदाहरण, लेकिन महत्वपूर्ण चीजों को समझाते हुए।
चलो इसके साथ शुरू करते हैं।
यहां समझाने के लिए कुछ भी नहीं है। आप सभी सब कुछ जानते हैं: हम आठ लोग हैं। हर किसी के पास कोला की दो बोतलें होती हैं। कोला कितना है? दाएं - 16 बोतलें।
अब गुणा।
कोला के साथ एक ही उदाहरण अलग-अलग रिकॉर्ड किया जा सकता है :. गणित - लोग चालाक और आलसी। वे पहले कुछ पैटर्न नोटिस करते हैं, और फिर उन्हें "गिनने" के तरीके का आविष्कार करते हैं। हमारे मामले में, उन्होंने देखा कि आठ लोगों में से प्रत्येक को कोला की बोतलें थीं और गुणा नामक रिसेप्शन के साथ आए। सहमत हैं, इसे आसान और तेज़ माना जाता है।
तो, तेजी से, आसान और गलतियों के बिना, आपको बस याद रखने की जरूरत है तालिका गुणा। बेशक, आप सबकुछ धीरे-धीरे, कठिन और गलतियों कर सकते हैं! परंतु…
यहां गुणा तालिका है। दोहराएं।
और दूसरा, अधिक सुंदर:
और आलसी गणितज्ञों के साथ अन्य चालें आईं? सही - निर्माण.
निर्माण
यदि आपको संख्या को पांच बार गुणा करने की आवश्यकता है, तो गणित का कहना है कि आपको पांचवीं डिग्री में इस संख्या को बनाने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, । गणित याद रखें कि पांचवीं डिग्री में दो हैं। और वे दिमाग में ऐसे कार्यों को हल करते हैं - तेज़, आसान और त्रुटियों के बिना।
इसके लिए आपको केवल जरूरत है याद रखें कि संख्याओं की डिग्री की तालिका में रंग में क्या हाइलाइट किया गया है। मान लीजिए, यह आपके जीवन को बहुत सुविधाजनक बना देगा।
वैसे, दूसरी डिग्री क्यों कहा जाता है वर्ग संख्या, और तीसरा - क्यूबा? इसका क्या मतलब है? बहुत अच्छा सवाल। अब आपके और वर्गों और क्यूबा के लिए होगा।
लाइफ नंबर 1 से उदाहरण
चलो एक वर्ग के साथ या संख्या की दूसरी डिग्री से शुरू करते हैं।
मीटर पर मीटर आकार के एक वर्ग पूल की कल्पना करें। पूल आपके डच पर है। गर्मी और वास्तव में तैरना चाहते हैं। लेकिन ... नीचे के बिना पूल! आपको पूल टाइल्स के नीचे स्टोर करने की आवश्यकता है। आपको टाइल्स की कितनी आवश्यकता है? इसे निर्धारित करने के लिए, आपको पूल के नीचे के क्षेत्र को जानने की आवश्यकता है।
आप बस एक उंगली के साथ गणना कर सकते हैं, कि पूल के नीचे मीटर प्रति मीटर एक मीटर क्यूब्स होते हैं। यदि आपके पास मीटर के लिए मीटर टाइल है, तो आपको टुकड़ों की आवश्यकता होगी। यह आसान है ... लेकिन आपने इतनी टाइल कहां देखी? टाइल देखने की अधिक संभावना है और फिर "गिनती करने के लिए उंगली" यातना। फिर आपको गुणा करना होगा। तो, पूल के नीचे के एक तरफ, हम टाइल्स (टुकड़े) और अन्य बहुत टाइल्स पर फिट बैठते हैं। गुणा पर, आपको टाइलें मिलेंगी ()।
क्या आपने देखा कि पूल के नीचे के क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए, क्या हमने आपके द्वारा समान संख्या को गुणा किया है? इसका क्या मतलब है? यह एक ही संख्या से गुणा किया जाता है, हम "विलुप्त होने का निर्माण" का लाभ उठा सकते हैं। (बेशक, जब आपके पास केवल दो संख्याएं होती हैं, तो उन्हें गुणा करें या उन्हें डिग्री में उठाएं। लेकिन यदि आपके पास उनमें से बहुत कुछ है, तो गणना के मामले में उन्हें बढ़ाने के लिए बहुत आसान है, बहुत कम। परीक्षा के लिए, बहूत ज़रूरी है)।
तो दूसरी डिग्री से तीस ()। या हम कह सकते हैं कि वर्ग में तीस होगा। दूसरे शब्दों में, संख्या की दूसरी डिग्री हमेशा एक वर्ग के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। और इसके विपरीत, यदि आप एक वर्ग देखते हैं - यह हमेशा कुछ संख्या की दूसरी डिग्री है। वर्ग दूसरी डिग्री संख्या की छवि है।
जीवन संख्या 2 से उदाहरण
यहां कार्य है, संख्या के वर्ग के साथ एक शतरंज के साथ कितने वर्गों की गणना करें ... कोशिकाओं के एक तरफ और दूसरी तरफ भी। उनकी मात्रा की गणना करने के लिए, आपको आठ या गुणा करने की आवश्यकता है ... यदि आप ध्यान देते हैं कि शतरंज पक्ष का एक वर्ग है, तो आप आठ प्रति वर्ग बना सकते हैं। यह कोशिकाओं को बदल देता है। () इसलिए?
लाइफ नंबर 3 से उदाहरण
अब एक घन या संख्या की तीसरी डिग्री। एक ही पूल। लेकिन अब आपको यह जानने की जरूरत है कि इस पूल में कितना पानी भरना होगा। आपको वॉल्यूम की गणना करने की आवश्यकता है। (वैसे, वॉल्यूम्स और तरल पदार्थ, घन मीटर में मापा जाता है। अचानक, वास्तव में?) एक पूल ड्रा: मीटर आकार के नीचे और मीटर की गहराई और गिनने की कोशिश करें कि मीटर पर मीटर के आकार का कितना क्यूब्स होगा अपना पूल दर्ज करें।
अपनी उंगली और गिनती को सही दिखाओ! एक बार, दो, तीन, चार ... बीस दो, बीस तीन ... यह कितना हुआ? नीचे नहीं आया? अपनी उंगली गिनने में मुश्किल है? इसलिए कि! गणितज्ञों के साथ एक उदाहरण लें। इसलिए वे आलसी हैं, इसलिए ध्यान दिया गया है कि पूल की मात्रा की गणना करने के लिए, एक दूसरे को लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई में गुणा करना आवश्यक है। हमारे मामले में, पूल की मात्रा क्यूब्स के बराबर होगी ... सत्य के लिए यह आसान है?
और अब कल्पना कीजिए, जहां तक \u200b\u200bगणित आलसी और चालाक हैं, अगर वे सरलीकृत हैं। सभी एक कार्रवाई के लिए लाया। उन्होंने देखा कि लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई बराबर है और यह वही संख्या स्वयं ही अपने आप को वर्निम करती है ... और इसका क्या अर्थ है? इसका मतलब है कि आप डिग्री का लाभ उठा सकते हैं। तो, आपने अपनी उंगली के साथ क्या सोचा, वे एक कार्यवाही में करते हैं: क्यूबा में तीन बराबर है। यह लिखा गया है :.
यह केवल बनी हुई है टेबल डिग्री याद रखें। यदि आप निश्चित रूप से, गणित के रूप में एक ही आलसी और चालाक हैं। यदि आप बहुत काम करना और गलतियां करना पसंद करते हैं - तो आप अपनी उंगली की गिनती जारी रख सकते हैं।
खैर, आखिरकार आपको यह समझाने के लिए कि डिग्री लोदी और कुनियों के साथ अपनी जानकारियों की समस्याओं को हल करने के लिए आया था, न कि आपको समस्याएं पैदा न करें, यहां जीवन से एक और कुछ उदाहरण हैं।
लाइफ नंबर 4 से उदाहरण
आपके पास एक लाख रूबल हैं। प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में आप हर मिलियन एक और मिलियन कमाते हैं। यही है, हर मिलियन प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में दोगुना हो जाएगा। वर्षों में आपके पास कितना पैसा होगा? यदि आप अब बैठे हैं और "आप अपनी उंगली सोचते हैं", तो आप एक बहुत मेहनती व्यक्ति हैं और बेवकूफ। लेकिन सबसे अधिक संभावना है कि आप कुछ सेकंड में जवाब देंगे, क्योंकि आप स्मार्ट हैं! तो, पहले वर्ष में - दो गुणा दो ... दूसरे वर्ष में - क्या हुआ, तीसरे वर्ष, एक और दो ... बंद करो! आपने देखा कि संख्या ही गुणा करती है। तो, पांचवीं डिग्री में दो - एक लाख! और अब कल्पना करें कि आपके पास एक प्रतियोगिता है और इन मिलियन को वह प्राप्त होगा जो तेजी से पाएगा ... संख्याओं की डिग्री याद रखने के लायक है, आपको क्या लगता है?
लाइफ नंबर 5 से उदाहरण
आपके पास एक लाख है। प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में आप प्रत्येक मिलियन दो और कमाते हैं। महान सत्य? हर मिलियन ट्रिपल। एक वर्ष के बाद आपके पास कितना पैसा होगा? आइये गिनते हैं। पहले वर्ष को गुणा करना है, फिर परिणाम अभी भी चालू है ... पहले से ही उबाऊ है, क्योंकि आप पहले से ही सबकुछ समझ चुके हैं: तीन खुद को गुणा किया गया है। इसलिए, चौथी डिग्री एक लाख के बराबर है। यह याद रखना आवश्यक है कि चौथी डिग्री में तीन या हैं।
अब आप जानते हैं कि संख्या के निर्माण की मदद से, आप अपने जीवन को बहुत सुविधाजनक बनाएंगे। आइए देखें कि आप डिग्री के साथ क्या कर सकते हैं और उनके बारे में आपको क्या जानने की आवश्यकता है।
नियम और अवधारणाएं ... ताकि भ्रमित न हो
तो, शुरुआत करने वालों के लिए, चलो अवधारणाओं को परिभाषित करते हैं। तुम क्या सोचते हो, डिग्री का संकेतक क्या है? यह बहुत आसान है - यह वह संख्या है जो संख्या की डिग्री के "शीर्ष पर" है। वैज्ञानिक नहीं, लेकिन यह स्पष्ट और याद रखने में आसान है ...
खैर, एक ही समय में ऐसी नींव की डिग्री? इससे भी आसान - यह वह संख्या है जो आधार पर नीचे है।
वफादारी के लिए यहां एक ड्राइंग है।
खैर, सामान्य रूप से, संक्षेप में और बेहतर याद रखने के लिए ... आधार के साथ डिग्री "" और संकेतक "" को "डिग्री" के रूप में पढ़ा जाता है और निम्नानुसार लिखा जाता है:
एक प्राकृतिक संकेतक के साथ संख्या की डिग्री
आप पहले ही अनुमान लगाए गए हैं: क्योंकि संकेतक एक प्राकृतिक संख्या है। हाँ, लेकिन क्या है प्राकृतिक संख्या? प्राथमिक! प्राकृतिक ये वे संख्याएं हैं जो आइटम सूचीबद्ध करते समय खाते में उपयोग की जाती हैं: एक, दो, तीन ... हम, जब हम वस्तुओं पर विचार करते हैं, तो कहें: "माइनस पांच", "माइनस सिक्स", "माइनस सात"। हम यह भी नहीं कहते: "एक तिहाई", या "शून्य का शून्य, पांच दसवां"। ये प्राकृतिक संख्या नहीं हैं। और ये नंबर क्या सोचते हैं?
"माइनस पांच", "माइनस सिक्स" जैसी संख्याएं, "माइनस सेवन" से संबंधित हैं पूर्ण संख्या। सामान्य रूप से, पूरी संख्या में सभी प्राकृतिक संख्याओं में शामिल हैं, संख्याएं प्राकृतिक के विपरीत हैं (यानी, एक शून्य चिह्न के साथ ली गई), और संख्या। शून्य आसानी से समझता है - यह तब होता है जब कुछ भी नहीं। और उनका क्या मतलब है नकारात्मक ("माइनस") संख्या? लेकिन उन्हें मुख्य रूप से ऋण निर्धारित करने के लिए आविष्कार किया गया था: यदि आपके पास फोन नंबर पर संतुलन है, तो इसका मतलब है कि आपको ऑपरेटर रूबल्स चाहिए।
सभी प्रकार के अंश तर्कसंगत संख्याएं हैं। वे कैसे उठते थे, आपको क्या लगता है? बहुत सरल। कई हजार साल पहले, हमारे पूर्वजों ने पाया कि उनके पास लंबे, वजन, वर्ग इत्यादि को मापने के लिए प्राकृतिक संख्या की कमी है। और उन्होंने आविष्कार किया परिमेय संख्या... मुझे आश्चर्य है कि यह सच है?
तर्कहीन संख्या भी हैं। यह संख्या क्या है? यदि छोटा हो, तो एक अनंत दशमलव अंश। उदाहरण के लिए, यदि परिधि की लंबाई को उसके व्यास में विभाजित किया जाता है, तो तर्कहीन संख्या होगी।
सारांश:
हम डिग्री की अवधारणा को परिभाषित करते हैं, जिसके संकेतक एक प्राकृतिक संख्या (यानी, एक संपूर्ण और सकारात्मक) है।
- पहले डिग्री के लिए समान रूप से कोई भी संख्या:
- वर्ग में संख्या का मूल्यांकन करें - इसका मतलब है कि इसे स्वयं गुणा करना है:
- घन में संख्या का मूल्यांकन करें - इसका मतलब है कि इसे अपने आप को तीन बार गुणा करना है:
परिभाषा। प्राकृतिक डिग्री में संख्या का मूल्यांकन करें - इसका अर्थ है अपने लिए सभी समय की संख्या को गुणा करना:
.
डिग्री की गुण
ये गुण कहां से आए? मैं अब आपको दिखाऊंगा।
चलो देखते हैं: क्या है तथा ?
ए-प्रोरी:
कितने गुणक यहां हैं?
बहुत सरल: हमने गुणक को गुणक को पूरा किया, यह कारकों को बाहर कर दिया।
लेकिन परिभाषा के अनुसार, यह एक संकेतक के साथ एक संख्या की डिग्री है, यानी, यह साबित करना आवश्यक था।
उदाहरण: अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।
फेसला:
उदाहरण: अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।
फेसला: यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि हमारे शासन में इससे पहले एक ही नींव होनी चाहिए!
इसलिए, हम आधार के साथ डिग्री गठबंधन करते हैं, लेकिन एक अलग गुणक बना हुआ है:
केवल डिग्री के काम के लिए!
किसी भी मामले में यह नहीं लिखा जा सकता है।
2. वह है संख्या की डिग्री
बस पिछले संपत्ति के साथ, हम डिग्री की परिभाषा में बदल जाते हैं:
यह पता चला है कि अभिव्यक्ति को एक बार एक बार गुणा किया जाता है, यानी, परिभाषा के अनुसार, यह एक संख्या है:
वास्तव में, इसे "ब्रैकेट के लिए संकेतक" कहा जा सकता है। लेकिन यह राशि में कभी नहीं कर सकते:
संक्षिप्त गुणा के सूत्र को याद करें: हम कितनी बार लिखना चाहते थे?
लेकिन यह गलत है, क्योंकि।
नकारात्मक
इस बिंदु तक, हमने केवल चर्चा की कि संकेतक क्या होना चाहिए।
लेकिन आधार क्या होना चाहिए?
एस की डिग्री में। प्राकृतिक संकेतक आधार हो सकता है कोई संख्या। और सच्चाई, हम एक दूसरे को किसी भी संख्या को गुणा कर सकते हैं, चाहे वे सकारात्मक, नकारात्मक, या यहां तक \u200b\u200bकि।
आइए सोचें कि क्या संकेत ("या" ") सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की डिग्री होगी?
उदाहरण के लिए, एक सकारात्मक या नकारात्मक संख्या? लेकिन अ? ? पहले के साथ, सबकुछ स्पष्ट है: हम कितने सकारात्मक संख्याओं को एक-दूसरे से गुणा नहीं किया जाता है, नतीजा सकारात्मक होगा।
लेकिन नकारात्मक के साथ थोड़ा और दिलचस्प है। आखिरकार, हमें ग्रेड 6 का एक साधारण नियम याद है: "माइनस के लिए माइनस एक प्लस देता है।" वह है, या। लेकिन अगर हम गुणा करते हैं, तो यह काम करेगा।
स्वतंत्र रूप से निर्धारित करें, निम्नलिखित अभिव्यक्तियों का क्या संकेत होगा:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
सामना?
यहां उत्तर दिए गए हैं: पहले चार उदाहरणों में, मुझे आशा है कि सबकुछ समझ में आता है? बस आधार और संकेतक को देखें, और उचित नियम लागू करें।
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
उदाहरण 5 में), सबकुछ भी डरावना नहीं है, जैसा कि ऐसा लगता है: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आधार के बराबर क्या है - डिग्री भी है, जिसका मतलब है कि परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा।
खैर, आधार शून्य होने पर मामले के अपवाद के साथ। कारण बराबर नहीं है? जाहिर है, क्योंकि (क्योंकि)।
उदाहरण 6) अब इतना आसान नहीं है!
प्रशिक्षण के लिए 6 उदाहरण
6 उदाहरणों के समाधान
यदि आप आठवीं डिग्री पर ध्यान नहीं देते हैं, तो हम यहां क्या देखते हैं? ग्रेड 7 कार्यक्रम याद रखें। तो, याद किया? यह संक्षिप्त गुणा के लिए एक सूत्र है, अर्थात् - वर्गों का अंतर! हम पाते हैं:
सावधानी से denominator को देखो। वह संख्या के गुणक के समान ही है, लेकिन क्या गलत है? शर्तों की प्रक्रिया नहीं। यदि वे उन्हें स्थानों में बदल देंगे, तो नियम को लागू करना संभव होगा।
लेकिन ऐसा कैसे करें? यह बहुत आसान हो जाता है: denominator की डिग्री भी हमारी मदद करता है।
जादुई रूप से, घटकों को स्थानों में बदल दिया गया। यह "घटना" किसी भी अभिव्यक्ति के लिए एक डिग्री के लिए लागू है: हम ब्रैकेट में संकेतों को स्वतंत्र रूप से बदल सकते हैं।
लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है: सभी संकेत एक ही समय में बदल रहे हैं।!
उदाहरण के लिए वापस चलते हैं:
और फिर सूत्र:
पूर्णांक हम उनके विपरीत प्राकृतिक संख्याओं को बुलाते हैं (यानी, हस्ताक्षर के साथ लिया गया है) और संख्या।
संपूर्ण सकारात्मक संख्या, और यह प्राकृतिक से अलग नहीं है, तो सब कुछ पिछले खंड में बिल्कुल दिखता है।
और अब नए मामलों पर विचार करें। आइए एक संकेतक के बराबर शुरू करें।
शून्य के बराबर शून्य:
हमेशा की तरह, हम मुझसे पूछेंगे: ऐसा क्यों है?
आधार के साथ किसी भी डिग्री पर विचार करें। उदाहरण के लिए, और domineering ले लो:
इसलिए, हमने संख्या को गुणा किया, और जैसा कि यह था। और किस संख्या को गुणा किया जाना चाहिए ताकि कुछ भी नहीं बदला जा सके? यह सही है। इसलिए।
हम एक मनमानी संख्या के साथ ऐसा ही कर सकते हैं:
नियम दोहराएं:
शून्य के बराबर शून्य।
लेकिन कई नियमों से अपवाद हैं। और यहां यह भी एक संख्या (आधार के रूप में) है।
एक तरफ, यह किसी भी हद तक बराबर होना चाहिए - न तो गुणा कितना गुणा किया जाता है, फिर भी शून्य हो जाता है, यह स्पष्ट है। लेकिन दूसरी तरफ, शून्य डिग्री की किसी भी संख्या की तरह, बराबर होना चाहिए। तो सच क्या है? गणित ने शून्य से शून्य करने के लिए बाध्य और इनकार करने का फैसला किया। यही है, अब हम न केवल शून्य में विभाजित किए जा सकते हैं, बल्कि इसे शून्य पर भी बनाने के लिए भी कर सकते हैं।
चलो आगे बढ़ते हैं। प्राकृतिक संख्याओं और संख्याओं के अलावा नकारात्मक संख्याएं शामिल हैं। यह समझने के लिए कि नकारात्मक डिग्री क्या है, हम पिछली बार के रूप में करेंगे: नकारात्मक डिग्री के लिए एक सामान्य संख्या में कुछ सामान्य संख्या:
यहां से वांछित व्यक्त करना आसान है:
अब हम परिणामी नियम को मनमाने ढंग से डिग्री में फैलाते हैं:
तो, हम नियम तैयार करते हैं:
संख्या एक नकारात्मक डिग्री एक ही संख्या में एक सकारात्मक डिग्री के लिए है। लेकिन उसी समय पर आधार शून्य नहीं हो सकता है: (क्योंकि यह विभाजित करना असंभव है)।
आइए सारांशित करें:
I. अभिव्यक्ति मामले में परिभाषित नहीं है। तो अगर।
द्वितीय। शून्य के लिए कोई भी संख्या एक के बराबर है :.
तृतीय। एक संख्या जो शून्य के बराबर नहीं है, एक नकारात्मक डिग्री के लिए एक सकारात्मक डिग्री तक एक सकारात्मक डिग्री के लिए :.
स्वयं समाधान के लिए कार्य:
खैर, सामान्य रूप से, आत्म समाधान के लिए उदाहरण:
स्वयं समाधान के लिए कार्य विश्लेषण:
मुझे पता है, मुझे पता है, संख्याएं भयानक हैं, लेकिन परीक्षा हर चीज के लिए तैयार होनी चाहिए! इन उदाहरणों को साझा करें या अपने निर्णय को बिखेरें, अगर मैं तय नहीं कर सका और आप परीक्षा में आसानी से उनके साथ सामना करना सीखेंगे!
डिग्री के चक्र का विस्तार जारी रखें, डिग्री के संकेतक के रूप में "उपयुक्त"।
अब विचार करें परिमेय संख्या। क्या संख्या तर्कसंगत कहा जाता है?
उत्तर: सभी को अंशों के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां और पूर्णांक, और।
समझने के लिए क्या है "फ्रेट डिग्री", अंश पर विचार करें:
समीकरण के दोनों हिस्सों को डिग्री के लिए बनाया गया:
अब नियम के बारे में याद रखें "डिग्री से डिग्री":
पाने के लिए डिग्री में किस नंबर पर लिया जाना चाहिए?
यह फॉर्मूलेशन रूट डिग्री की परिभाषा है।
मुझे आपको याद दिलाने दें: संख्या की जड़ () को उस संख्या कहा जाता है जो विघटन में बराबर होता है।
यही है, रूट डिग्री एक ऑपरेशन है, अभ्यास को डिग्री में उल्टा :.
वह बाहर निकलता है। जाहिर है, इस विशेष मामले का विस्तार किया जा सकता है :.
अब एक संख्या जोड़ें: क्या है? "डिग्री से डिग्री" नियम की मदद से जवाब मिलना आसान है:
लेकिन क्या कारण कोई संख्या हो सकती है? आखिरकार, रूट सभी संख्याओं से निकाला नहीं जा सकता है।
कोई नहीं!
नियम याद रखें: किसी भी डिग्री में किसी भी संख्या में संख्या सकारात्मक है। यही है, नकारात्मक संख्याओं से एक डिग्री की जड़ों को निकालने के लिए यह असंभव है!
इसका मतलब यह है कि इस तरह की संख्याओं को एक भी denominator के साथ एक आंशिक डिग्री में बनाना असंभव है, यानी, अभिव्यक्ति समझ में नहीं आता है।
अभिव्यक्ति के बारे में क्या?
लेकिन एक समस्या है।
संख्या को डीआरजीआईएच, कम अंशों के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, या।
और यह पता चला है कि वहां मौजूद है, लेकिन अस्तित्व में नहीं है, लेकिन यह एक ही संख्या के दो अलग-अलग रिकॉर्ड हैं।
या एक और उदाहरण: एक बार, फिर आप लिख सकते हैं। लेकिन हमें एक अलग तरीके से लिखना सार्थक है, और फिर हमें एक उपद्रव मिलता है: (यानी, उन्हें एक पूरी तरह से अलग परिणाम प्राप्त हुआ!)।
समान विरोधाभासों से बचने के लिए, हम मानते हैं केवल आंशिक संकेतक के साथ डिग्री की एक सकारात्मक नींव.
तो अगर:
- - प्राकृतिक संख्या;
- - पूर्णांक;
उदाहरण:
तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री जड़ों के साथ अभिव्यक्ति को परिवर्तित करने के लिए बहुत उपयोगी हैं, उदाहरण के लिए:
प्रशिक्षण के लिए 5 उदाहरण
प्रशिक्षण के लिए 5 उदाहरणों का विश्लेषण
खैर, अब - सबसे मुश्किल। अब हम समझेंगे तर्कहीन.
यहां सभी नियमों और गुणों को अपवाद के साथ एक तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री के समान ही समान हैं
आखिरकार, परिभाषा के अनुसार, तर्कहीन संख्याएं संख्याएं होती हैं जिन्हें एक अंश के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, जहां और - पूर्णांक (यानी, तर्कहीन संख्याएं हैं जो तर्कसंगत को छोड़कर सभी वैध संख्याएं हैं)।
प्राकृतिक, पूरे और तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हम हर बार एक निश्चित "छवि", "समानता", या अधिक परिचित शर्तों में विवरण गठित करते हैं।
उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक आंकड़ा एक संख्या है, कई बार खुद को गुणा किया जाता है;
...शून्य - इस प्रकार संख्या एक बार खुद से गुणा हो गई है, यानी, उसने अभी तक गुणा करना शुरू नहीं किया है, इसका मतलब है कि संख्या स्वयं भी दिखाई नहीं दे रही है - इसलिए परिणाम केवल एक निश्चित "बिलेट संख्या" है, अर्थात् संख्या;
...एक पूरे नकारात्मक संकेतक के साथ डिग्री "ऐसा लगता है कि यह एक निश्चित" रिवर्स प्रक्रिया "हुआ है, यानी, संख्या स्वयं को गुणा नहीं किया गया था, लेकिन डेली।
वैसे, विज्ञान में अक्सर एक जटिल संकेतक के साथ उपयोग किया जाता है, यानी संकेतक भी एक वैध संख्या नहीं है।
लेकिन स्कूल में हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं, आपको संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर मिलेगा।
जहां हमें यकीन है कि आप करेंगे! (यदि आप ऐसे उदाहरणों को हल करना सीखते हैं :))
उदाहरण के लिए:
अपने आप को सोलिम करें:
मलबे:
1. आइए हमारे लिए अभ्यास नियमों के लिए सामान्य नियमों के साथ शुरू करें:
अब संकेतक को देखो। क्या वह आपको कुछ भी याद नहीं करता? संक्षिप्त गुणा के सूत्र को याद रखें। स्क्वायर मतभेद:
इस मामले में,
यह पता चला है:
उत्तर: .
2. हम एक ही रूप में डिग्री के संकेतकों में अंश लाते हैं: या तो दोनों दशमलव या दोनों साधारण हैं। हम प्राप्त करते हैं, उदाहरण के लिए:
उत्तर: 16।
3. कुछ भी विशेष नहीं, हम डिग्री के सामान्य गुणों का उपयोग करते हैं:
उन्नत स्तर, उच्च स्तर
डिग्री का निर्धारण
डिग्री को फॉर्म की अभिव्यक्ति कहा जाता है: जहां:
- — डिग्री आधार;
- संकेतक।
प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री (एन \u003d 1, 2, 3, ...)
एक प्राकृतिक डिग्री एन का निर्माण करें - इसका मतलब है कि अपने लिए संख्या को एक बार गुणा करना:
पूर्णांक (0, ± 1, ± 2, के साथ डिग्री ...)
यदि डिग्री का संकेतक है सॉफ्टवेयर सकारात्मक संख्या:
निर्माण शून्य डिग्री में:
अभिव्यक्ति अनिश्चितकालीन है, क्योंकि, किसी भी हद तक, यह है, और दूसरी तरफ - डिग्री में से कोई भी संख्या है।
यदि डिग्री का संकेतक है एक नकारात्मक संख्या:
(क्योंकि यह विभाजित करना असंभव है)।
एक बार फिर शून्य के बारे में: अभिव्यक्ति मामले में परिभाषित नहीं है। तो अगर।
उदाहरण:
युक्तिसंगत
- - प्राकृतिक संख्या;
- - पूर्णांक;
उदाहरण:
डिग्री की गुण
समस्याओं को हल करना आसान बनाने के लिए, आइए समझने की कोशिश करें: ये गुण कहां से आए? हम उन्हें साबित करते हैं।
चलो देखते हैं: क्या है?
ए-प्रोरी:
तो, इस अभिव्यक्ति के दाहिने हिस्से में, ऐसा काम प्राप्त किया जाता है:
लेकिन परिभाषा के अनुसार, यह एक संकेतक के साथ एक संख्या की डिग्री है, यह है:
Q.E.D.
उदाहरण : अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।
फेसला : .
उदाहरण : अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।
फेसला : यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि हमारे शासन में इससे पहलेवही आधार होना चाहिए। इसलिए, हम आधार के साथ डिग्री गठबंधन करते हैं, लेकिन एक अलग गुणक बना हुआ है:
एक और महत्वपूर्ण नोट: यह एक नियम है - केवल डिग्री के काम के लिए!
लिखने के लिए तंत्रिका के किसी भी मामले में।
बस पिछले संपत्ति के साथ, हम डिग्री की परिभाषा में बदल जाते हैं:
हम इस तरह इस काम को फिर से तैयार करते हैं:
यह पता चला है कि अभिव्यक्ति को एक बार एक बार गुणा किया जाता है, यह परिभाषा के अनुसार है, यह संख्या की डिग्री से है:
वास्तव में, इसे "ब्रैकेट के लिए संकेतक" कहा जा सकता है। लेकिन यह राशि में कभी नहीं कर सकते:!
संक्षिप्त गुणा के सूत्र को याद करें: हम कितनी बार लिखना चाहते थे? लेकिन यह गलत है, क्योंकि।
नकारात्मक आधार के साथ डिग्री।
इस बिंदु तक, हमने केवल चर्चा की कि क्या होना चाहिए सूचक डिग्री। लेकिन आधार क्या होना चाहिए? एस की डिग्री में। प्राकृतिक सूचक आधार हो सकता है कोई संख्या .
और सच्चाई, हम एक दूसरे को किसी भी संख्या को गुणा कर सकते हैं, चाहे वे सकारात्मक, नकारात्मक, या यहां तक \u200b\u200bकि। आइए सोचें कि क्या संकेत ("या" ") सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की डिग्री होगी?
उदाहरण के लिए, एक सकारात्मक या नकारात्मक संख्या? लेकिन अ? ?
पहले के साथ, सबकुछ स्पष्ट है: हम कितने सकारात्मक संख्याओं को एक-दूसरे से गुणा नहीं किया जाता है, नतीजा सकारात्मक होगा।
लेकिन नकारात्मक के साथ थोड़ा और दिलचस्प है। आखिरकार, हमें ग्रेड 6 का एक साधारण नियम याद है: "माइनस के लिए माइनस एक प्लस देता है।" वह है, या। लेकिन अगर हम () पर गुणा करेंगे, तो यह पता चला है।
और तो अनंत तक: प्रत्येक बार अगला गुणा संकेत बदल जाएगा। सरल नियम तैयार किए जा सकते हैं:
- यहाँ तक की डिग्री - संख्या सकारात्मक.
- नकारात्मक संख्या में रखा गया अजीब डिग्री - संख्या नकारात्मक.
- किसी भी डिग्री के लिए एक सकारात्मक संख्या संख्या सकारात्मक है।
- शून्य से शून्य शून्य है।
स्वतंत्र रूप से निर्धारित करें, निम्नलिखित अभिव्यक्तियों का क्या संकेत होगा:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
सामना? यहां उत्तर दिए गए हैं:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
पहले चार उदाहरणों में, मुझे आशा है कि सब कुछ स्पष्ट है? बस आधार और संकेतक को देखें, और उचित नियम लागू करें।
उदाहरण 5 में), सबकुछ भी डरावना नहीं है, जैसा कि ऐसा लगता है: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आधार के बराबर क्या है - डिग्री भी है, जिसका मतलब है कि परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा। खैर, आधार शून्य होने पर मामले के अपवाद के साथ। कारण बराबर नहीं है? जाहिर है, क्योंकि (क्योंकि)।
उदाहरण 6) अब इतना आसान नहीं है। यहां आपको यह जानने की जरूरत है: या? अगर आपको याद है कि यह स्पष्ट हो जाता है, और इसलिए, आधार शून्य से कम है। यही है, हम नियम 2 लागू करते हैं: परिणाम नकारात्मक होगा।
और फिर हम डिग्री की डिग्री का उपयोग करते हैं:
हमेशा की तरह - डिग्री की परिभाषा को लिखें और उन्हें एक-दूसरे को विभाजित करें, जोड़े पर विभाजित करें और प्राप्त करें:
पिछले नियम को अलग करने से पहले, हम कई उदाहरण हल करते हैं।
गणना की गई अभिव्यक्ति:
समाधान :
यदि आप आठवीं डिग्री पर ध्यान नहीं देते हैं, तो हम यहां क्या देखते हैं? ग्रेड 7 कार्यक्रम याद रखें। तो, याद किया? यह संक्षिप्त गुणा के लिए एक सूत्र है, अर्थात् - वर्गों का अंतर!
हम पाते हैं:
सावधानी से denominator को देखो। वह संख्या के गुणक के समान ही है, लेकिन क्या गलत है? शर्तों की प्रक्रिया नहीं। यदि वे स्थानों में बदल गए थे, तो नियम 3 लागू करना संभव होगा। लेकिन इसे कैसे करें? यह बहुत आसान हो जाता है: denominator की डिग्री भी हमारी मदद करता है।
यदि आप इसे आकर्षित करते हैं, तो कुछ भी नहीं बदलेगा, है ना? लेकिन अब यह निम्नलिखित को बदल देता है:
जादुई रूप से, घटकों को स्थानों में बदल दिया गया। यह "घटना" किसी भी अभिव्यक्ति के लिए एक डिग्री के लिए लागू है: हम ब्रैकेट में संकेतों को स्वतंत्र रूप से बदल सकते हैं। लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है: एक ही समय में सभी संकेत बदल रहे हैं!आप प्रतिस्थापित नहीं कर सकते हैं, केवल एक असहनीय शून्य बदल सकते हैं!
उदाहरण के लिए वापस चलते हैं:
और फिर सूत्र:
तो अब अंतिम नियम:
हम कैसे साबित करेंगे? बेशक, सामान्य रूप से: मैं डिग्री की अवधारणा को प्रकट करूंगा और सरल करता हूं:
खैर, अब मैं ब्रैकेट प्रकट करूंगा। पत्र कितने मिलेगा? एक बार गुणक पर - यह क्या याद दिलाता है? यह ऑपरेशन की परिभाषा के अलावा कुछ भी नहीं है गुणा: कुल मिलाकर कारक थे। यह है, यह परिभाषा के अनुसार, संकेतक के साथ संख्या की डिग्री:
उदाहरण:
तर्कहीन
औसत स्तर के लिए डिग्री के बारे में जानकारी के अलावा, हम तर्कहीन संकेतक के साथ डिग्री का विश्लेषण करेंगे। यहां डिग्री के सभी नियम और गुण बिल्कुल एक तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री के समान हैं, अपवाद के साथ - सभी के बाद, परिभाषा के अनुसार, अपरिमेय संख्या संख्याएं हैं जिन्हें अंश के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, जहां - पूर्णांक - पूर्णांक (यानी, तर्कहीन संख्या तर्कसंगत के अलावा सभी वैध संख्याएं हैं)।
प्राकृतिक, पूरे और तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हम हर बार एक निश्चित "छवि", "समानता", या अधिक परिचित शर्तों में विवरण गठित करते हैं। उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक आंकड़ा एक संख्या है, कई बार खुद को गुणा किया जाता है; शून्य डिग्री में संख्या किसी भी तरह से संख्या एक बार गुणा किया जाता है, यानी, यह अभी तक गुणा करना शुरू नहीं हुआ है, इसका मतलब है कि संख्या स्वयं भी दिखाई नहीं दे रही है - इसलिए, केवल एक निश्चित "बिलेट", अर्थात्, परिणाम है ; पूरे नकारात्मक संकेतक के साथ डिग्री यह है कि एक निश्चित "रिवर्स प्रक्रिया" हुई है, यानी, संख्या स्वयं को गुणा नहीं किया गया था, लेकिन विभाजित किया गया था।
कल्पना करें कि एक तर्कहीन संकेतक के साथ डिग्री बेहद मुश्किल है (जैसे कि 4-आयामी स्थान जमा करना मुश्किल है)। यह बल्कि एक पूरी तरह से गणितीय वस्तु है जो गणित को संख्याओं की पूरी जगह तक डिग्री की अवधारणा का विस्तार करने के लिए बनाया गया है।
वैसे, विज्ञान में अक्सर एक जटिल संकेतक के साथ उपयोग किया जाता है, यानी संकेतक भी एक वैध संख्या नहीं है। लेकिन स्कूल में हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं, आपको संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर मिलेगा।
तो अगर हम एक तर्कहीन दर देखते हैं तो हम क्या करते हैं? हम इसे सभी के साथ छुटकारा पाने की कोशिश कर रहे हैं! :)
उदाहरण के लिए:
अपने आप को सोलिम करें:
| 1) | 2) | 3) |
उत्तर:
- हमें सूत्रों को चौकों का अंतर याद है। उत्तर :.
- हम एक ही रूप में अंश देते हैं: या तो दोनों दशमलव, या दोनों साधारण। हमें मिलता है, उदाहरण के लिए :.
- कुछ भी खास नहीं है, हम डिग्री के सामान्य गुणों का उपयोग करते हैं:
अनुभाग और मूल सूत्रों का सारांश
डिग्री फॉर्म की अभिव्यक्ति कहा जाता है: कहां:
पूर्णांक
डिग्री, जिसका संकेतक एक प्राकृतिक संख्या (यानी, एक संपूर्ण और सकारात्मक) है।
युक्तिसंगत
डिग्री, जिसका संकेतक नकारात्मक और आंशिक संख्या है।
तर्कहीन
डिग्री, जिसका संकेतक एक अनंत दशमलव अंश या जड़ है।
डिग्री की गुण
डिग्री की विशेषताएं।
- नकारात्मक संख्या में रखा गया यहाँ तक की डिग्री - संख्या सकारात्मक.
- नकारात्मक संख्या में रखा गया अजीब डिग्री - संख्या नकारात्मक.
- किसी भी डिग्री के लिए एक सकारात्मक संख्या संख्या सकारात्मक है।
- शून्य किसी भी डिग्री के बराबर बराबर है।
- शून्य के बराबर संख्या।
अब आपको एक शब्द की आवश्यकता है ...
आपको एक लेख की आवश्यकता कैसे है? टिप्पणियों में लिखें या नहीं।
मुझे डिग्री के गुणों का उपयोग करने में अपने अनुभव के बारे में बताएं।
शायद आपके पास प्रश्न हैं। या सुझाव।
टिप्पणियों में लिखें।
और परीक्षाओं पर शुभकामनाएँ!
प्रत्येक अंकगणितीय ऑपरेशन कभी-कभी रिकॉर्ड करने के लिए बहुत बोझिल हो जाता है और इसे सरल बनाने का प्रयास करता है। एक बार यह अतिरिक्त के संचालन के साथ था। लोगों को एक बहु-समय जोड़ की आवश्यकता थी, उदाहरण के लिए, एक सौ फारसी कालीन की लागत की गणना करने के लिए, जिसकी लागत प्रत्येक के लिए 3 सोने के सिक्के है। 3 + 3 + 3 + ... + 3 \u003d 300. भारी की वजह से, रिकॉर्डिंग को 3 * 100 \u003d 300 में कम करने के लिए इसका आविष्कार किया गया था। वास्तव में, रिकॉर्डिंग "तीन गुणा एक सौ से गुणा" का अर्थ है कि आपको इसकी आवश्यकता है एक सौ ट्रॉट लें और एक दूसरे को घुमाएं। गुणा पारित, समग्र लोकप्रियता प्राप्त की। लेकिन दुनिया अभी भी खड़ी नहीं है, और मध्य युग में एक बहु-समय गुणा करने की आवश्यकता थी। पुराने भारतीय रहस्य को याद किया जाता है, निम्नलिखित मात्रा में गेहूं के अनाज के काम के लिए एक इनाम मांगना है: शतरंज के पहले सेल के लिए, उन्होंने एक अनाज से पूछा, दूसरे - दो, तीसरे - चार, पांचवें - आठ और जल्द ही। इस प्रकार, डिग्री का पहला गुणा दिखाई दिया, क्योंकि हरे रंग की मात्रा सेल संख्या की डिग्री के बराबर डिग्री के बराबर थी। उदाहरण के लिए, अंतिम सेल पर 2 * 2 * 2 * ... * 2 \u003d 2 ^ 63 अनाज होगा, जो 18 अक्षरों की संख्या के बराबर है, वास्तव में, वास्तव में, पहेलियों का अर्थ।
व्यायाम संचालन काफी जल्दी हुआ, अतिरिक्त, घटाव, विभाजन और डिग्री के गुणा करने के लिए भी जल्दी की जरूरत है। अंतिम और यह अधिक विस्तार से विचार करने योग्य है। डिग्री जोड़ने के लिए सूत्र सरल और याद रखने में आसान हैं। इसके अलावा, यह समझना बहुत आसान है कि वे कहां से आते हैं यदि डिग्री गुणा द्वारा प्रतिस्थापित की जाती है। लेकिन पहले प्राथमिक शब्दावली में हल किया जाना चाहिए। अभिव्यक्ति ए ^ बी ("ए द डिग्री बी" पढ़ें) का अर्थ है कि संख्या ए को स्वयं बी द्वारा एक बार गुणा किया जाना चाहिए, और "ए" को डिग्री की नींव कहा जाता है, और "बी" एक पावर इंडिकेटर है। यदि डिग्री के आधार समान हैं, तो सूत्र पूरी तरह से सरल हैं। विशिष्ट उदाहरण: अभिव्यक्ति का मान 2 ^ 3 * 2 ^ 4 खोजें। यह जानने के लिए कि कंप्यूटर पर जवाब खोजने का निर्णय लेने से पहले क्या होना चाहिए। इस अभिव्यक्ति को किसी भी ऑनलाइन कैलकुलेटर, खोज इंजन, टाइपिंग "अलग-अलग आधारों के साथ डिग्री का गुणा" या गणितीय पैकेज, आउटपुट 128 होगा। अब हम इस अभिव्यक्ति को लिखेंगे: 2 ^ 3 \u003d 2 * 2 * 2 , एक 2 ^ 4 \u003d 2 * 2 * 2 * 2। यह पता चला है कि 2 ^ 3 * 2 ^ 4 \u003d 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 \u003d 2 ^ 7 \u003d 2 ^ (3 + 4)। यह पता चला है कि एक ही आधार के साथ डिग्री का उत्पाद जमीन के बराबर है जो दो पिछली डिग्री के बराबर डिग्री के बराबर होता है।
आपको लगता है कि यह एक दुर्घटना है, लेकिन नहीं: कोई अन्य उदाहरण केवल इस नियम की पुष्टि कर सकता है। इस प्रकार, सामान्य सूत्र में, सूत्र निम्नानुसार है: a ^ n * a ^ m \u003d a ^ (n + m)। एक नियम भी है कि शून्य के समान संख्या एक समान है। यहां नकारात्मक डिग्री के नियम को याद करना आवश्यक है: ए ^ (- एन) \u003d 1 / ए ^ एन। यही है, अगर 2 ^ 3 \u003d 8, फिर 2 ^ (- 3) \u003d 1/8। इस नियम का उपयोग करके, आप समानता की वैधता को साबित कर सकते हैं ^ 0 \u003d 1: ए ^ 0 \u003d ए ^ (एनएन) \u003d ए ^ एन * ए ^ (- एन) \u003d ए ^ (एन) * 1 / ए ^ ( एन), ए ^ (एन) आप कम कर सकते हैं और इकाई बनी हुई है। यह नियम से भी बाहर निकाला जा रहा है कि एक ही आधार के साथ निजी डिग्री विभाजन और विभाजक के निजी संकेतक के बराबर डिग्री के बराबर इस आधार के बराबर हैं: ए ^ एन: ए ^ एम \u003d ए ^ (एन-एम)। उदाहरण: अभिव्यक्ति को सरल बनाएं 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0: 2 ^ (- 2)। गुणा एक कम्यूटिव ऑपरेशन है, इसलिए पहले गुणा संकेतक के अतिरिक्त: 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0 \u003d 2 ^ (3 + 5-7 + 0) \u003d 2 ^ 1 \u003d 2 । इसके बाद विभाजन को नकारात्मक डिग्री में निपटाया जाना चाहिए। विभाजक संकेतक को विभाजक के संकेतक से घटाना आवश्यक है: 2 ^ 1: 2 ^ (- 2) \u003d 2 ^ (1 - (2)) \u003d 2 ^ (1 + 2) \u003d 2 ^ 3 \u003d 8 । यह पता चला है कि एक समान सकारात्मक संकेतक को समान गुणा संचालन की डिग्री को नकारात्मक में विभाजन का संचालन। इस प्रकार, अंतिम जवाब 8 है।
ऐसे उदाहरण हैं जहां डिग्री का कैनोलिक गुणा नहीं है। विभिन्न अड्डों के साथ डिग्री गुणा अक्सर अधिक कठिन होता है, और कभी-कभी यह बिल्कुल असंभव होता है। विभिन्न संभावित तकनीकों के कई उदाहरण दिए जाने चाहिए। उदाहरण: अभिव्यक्ति को सरल बनाएं 3 ^ 7 * 9 ^ (- 2) * 81 ^ 3 * 243 ^ (- 2) * 729. जाहिर है, विभिन्न अड्डों के साथ डिग्री का गुणा है। लेकिन यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सभी नींव ट्रोका की अलग-अलग डिग्री हैं। 9 \u003d 3 ^ 2.1 \u003d 3 ^ 4.3 \u003d 3 ^ 5.9 \u003d 3 ^ 6। नियम (ए ^ एन) ^ एम \u003d ए ^ (एन * एम) का उपयोग करके, आपको अभिव्यक्ति को अधिक सुविधाजनक रूप में फिर से लिखना चाहिए: 3 ^ 7 * (3 ^ 2) ^ (- 2) * (3 ^ 4) ^ 3 * (3 ^ 5) ^ (- 2) * 3 ^ 6 \u003d 3 ^ 7 * 3 ^ (- 4) * 3 ^ (12) * 3 ^ (- 10) * 3 ^ 6 \u003d 3 ^ (7 -4 + 12 -10 + 6) \u003d 3 ^ (11)। उत्तर: 3 ^ 11। ऐसे मामलों में जहां विभिन्न आधार, नियम a ^ n * b ^ n \u003d (a * b) ^ n समान संकेतकों पर काम करता है। उदाहरण के लिए, 3 ^ 3 * 7 ^ 3 \u003d 21 ^ 3। अन्यथा, जब विभिन्न आधार और संकेतक, पूर्ण गुणा बनाना असंभव है। कभी-कभी कंप्यूटिंग तकनीक की मदद के लिए आंशिक रूप से सरल या सहारा देना संभव है।