Ce sujet peut paraître compliqué au premier abord en raison des nombreuses formules pas si simples. Non seulement les équations quadratiques elles-mêmes ont des notations longues, mais les racines se trouvent également grâce au discriminant. Au total, trois nouvelles formules sont obtenues. Pas très facile à retenir. Cela n’est possible qu’après avoir résolu fréquemment de telles équations. Ensuite, toutes les formules seront mémorisées d'elles-mêmes.

Vue générale d'une équation quadratique

Nous proposons ici leur enregistrement explicite, lorsque le plus grand degré est écrit en premier, puis par ordre décroissant. Il arrive souvent que les termes soient incohérents. Il est alors préférable de réécrire l'équation par ordre décroissant du degré de la variable.

Introduisons quelques notations. Ils sont présentés dans le tableau ci-dessous.

Si l'on accepte ces notations, toutes les équations quadratiques se réduisent à la notation suivante.

De plus, le coefficient a ≠ 0. Que cette formule soit désignée numéro un.

Lorsqu’une équation est donnée, il n’est pas clair combien de racines il y aura dans la réponse. Parce que l’une des trois options suivantes est toujours possible :

• la solution aura deux racines ;
• la réponse sera un chiffre ;
• l'équation n'aura aucune racine du tout.

Et jusqu'à ce que la décision soit prise, il est difficile de comprendre laquelle des options tombera dans un cas particulier.

Types d'enregistrements d'équations quadratiques

Il peut y avoir différentes entrées dans les tâches. Ils ne ressembleront pas toujours à la formule générale de l’équation quadratique. Parfois, il manquera certains termes. Ce qui a été écrit ci-dessus est l’équation complète. Si vous en supprimez le deuxième ou le troisième terme, vous obtenez autre chose. Ces enregistrements sont également appelés équations quadratiques, mais incomplètes.

De plus, seuls les termes avec les coefficients « b » et « c » peuvent disparaître. Le nombre « a » ne peut en aucun cas être égal à zéro. Car dans ce cas la formule se transforme en une équation linéaire. Les formules de la forme incomplète des équations seront les suivantes :

Il n'y a donc que deux types : en plus des équations quadratiques complètes, il existe également des équations quadratiques incomplètes. Soit la première formule le numéro deux et la seconde le numéro trois.

Discriminant et dépendance du nombre de racines à sa valeur

Vous devez connaître ce nombre pour calculer les racines de l’équation. Il peut toujours être calculé, quelle que soit la formule de l’équation quadratique. Afin de calculer le discriminant, vous devez utiliser l'égalité écrite ci-dessous, qui portera le chiffre quatre.

Après avoir remplacé les valeurs des coefficients dans cette formule, vous pouvez obtenir des nombres avec des signes différents. Si la réponse est oui, alors la réponse à l’équation sera deux racines différentes. Si le nombre est négatif, il n’y aura pas de racines de l’équation quadratique. S’il est égal à zéro, il n’y aura qu’une seule réponse.

Comment résoudre une équation quadratique complète ?

En fait, l’examen de cette question a déjà commencé. Parce qu'il faut d'abord trouver un discriminant. Une fois qu'il a été clarifié qu'il existe des racines de l'équation quadratique et que leur nombre est connu, vous devez utiliser les formules pour les variables. S'il y a deux racines, vous devez alors appliquer la formule suivante.

Puisqu’il contient un signe « ± », il y aura deux valeurs. L'expression sous le signe racine carrée est le discriminant. La formule peut donc être réécrite différemment.

Formule numéro cinq. À partir du même enregistrement, on peut voir que si le discriminant est nul, alors les deux racines prendront les mêmes valeurs.

Si la solution des équations quadratiques n'a pas encore été élaborée, il est préférable d'écrire les valeurs de tous les coefficients avant d'appliquer les formules discriminantes et variables. Plus tard, ce moment ne posera pas de difficultés. Mais au tout début, il y a une confusion.

Comment résoudre une équation quadratique incomplète ?

Tout est beaucoup plus simple ici. Il n’est même pas nécessaire de recourir à des formules supplémentaires. Et ceux qui ont déjà été écrits pour le discriminant et l'inconnu ne seront pas nécessaires.

Examinons d’abord l’équation incomplète numéro deux. Dans cette égalité, il est censé sortir la valeur inconnue de la parenthèse et résoudre l’équation linéaire, qui restera entre parenthèses. La réponse aura deux racines. Le premier est nécessairement égal à zéro, car il existe un facteur constitué par la variable elle-même. La seconde sera obtenue en résolvant une équation linéaire.

L'équation incomplète au numéro trois est résolue en transférant le nombre du côté gauche de l'équation vers la droite. Ensuite, vous devez diviser par le coefficient face à l'inconnue. Il ne reste plus qu'à extraire la racine carrée et penser à l'écrire deux fois avec des signes opposés.

Voici quelques étapes qui vous aideront à apprendre à résoudre toutes sortes d’égalités qui se transforment en équations quadratiques. Ils aideront l'étudiant à éviter les erreurs dues à l'inattention. Ces lacunes peuvent entraîner de mauvaises notes lors de l’étude du vaste sujet « Équations quadratiques (8e année) ». Par la suite, ces actions ne devront plus être réalisées en permanence. Parce qu'une compétence stable apparaîtra.

• Vous devez d’abord écrire l’équation sous forme standard. C'est-à-dire d'abord le terme avec le plus grand degré de la variable, puis - sans degré, et enfin - juste un nombre.

• Si un moins apparaît avant le coefficient "a", cela peut alors compliquer le travail d'un débutant pour étudier les équations quadratiques. Il vaut mieux s'en débarrasser. Pour cela, toute égalité doit être multipliée par « -1 ». Cela signifie que tous les termes changeront de signe en sens inverse.

• Il est recommandé de se débarrasser des fractions de la même manière. Multipliez simplement l’équation par le facteur approprié pour que les dénominateurs s’annulent.

Exemples

Il est nécessaire de résoudre les équations quadratiques suivantes :

x 2 - 7x = 0 ;

15 − 2x − x2 = 0 ;

x2 + 8 + 3x = 0 ;

12x + x2 + 36 = 0 ;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

La première équation : x 2 − 7x = 0. Elle est incomplète, elle est donc résolue comme décrit pour la formule numéro deux.

Après l'avoir sorti des parenthèses, il s'avère : x (x - 7) = 0.

La première racine prend la valeur : x 1 = 0. La seconde sera trouvée à partir de l'équation linéaire : x - 7 = 0. Il est facile de voir que x 2 = 7.

Deuxième équation : 5x 2 + 30 = 0. Encore une fois incomplète. Seulement, il est résolu comme décrit pour la troisième formule.

Après avoir déplacé 30 vers la droite de l'équation : 5x 2 = 30. Vous devez maintenant diviser par 5. Il s'avère : x 2 = 6. Les réponses seront les nombres : x 1 = √6, x 2 = - √6.

Troisième équation : 15 - 2x - x 2 = 0. Ici et ci-dessous, la solution des équations quadratiques commencera par les réécrire sous une forme standard : - x 2 - 2x + 15 = 0. Il est maintenant temps d'utiliser la seconde conseil utile et multipliez le tout par moins un. Il s'avère que x 2 + 2x - 15 = 0. En utilisant la quatrième formule, vous devez calculer le discriminant : D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. C'est un nombre positif. D’après ce qui précède, il s’avère que l’équation a deux racines. Ils doivent être calculés à l'aide de la cinquième formule. Il s'avère que x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Alors x 1 = 3, x 2 = - 5.

La quatrième équation x 2 + 8 + 3x = 0 est convertie en ceci : x 2 + 3x + 8 = 0. Son discriminant est égal à cette valeur : -23. Puisque ce nombre est négatif, la réponse à cette tâche sera l'entrée suivante : « Il n'y a pas de racines ».

La cinquième équation 12x + x 2 + 36 = 0 doit être réécrite comme suit : x 2 + 12x + 36 = 0. Après avoir appliqué la formule du discriminant, le nombre zéro est obtenu. Cela signifie qu'il aura une racine, à savoir : x = -12/ (2 * 1) = -6.

La sixième équation (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) nécessite des transformations, qui consistent dans le fait qu'il faut rapprocher des termes similaires, en ouvrant d'abord les parenthèses. A la place de la première il y aura l'expression suivante : x 2 + 2x + 1. Après l'égalité, cette entrée apparaîtra : x 2 + 3x + 2. Après avoir compté les termes similaires, l'équation prendra la forme : x 2 - x = 0. Il est devenu incomplet. Quelque chose de similaire a déjà été discuté un peu plus haut. Les racines de celui-ci seront les nombres 0 et 1.

Formules pour les racines d'une équation quadratique. Les cas de racines réelles, multiples et complexes sont considérés. Factoriser un trinôme quadratique. Interprétation géométrique. Exemples de détermination des racines et de factorisation.

Contenu

Voir également: Résoudre des équations quadratiques en ligne

Formules de base

Considérons l'équation quadratique :
(1) .
Racines d'une équation quadratique(1) sont déterminés par les formules :
; .
Ces formules peuvent être combinées comme ceci :
.
Lorsque les racines de l'équation quadratique sont connues, alors le polynôme du deuxième degré peut être représenté comme un produit de facteurs (factorisé) :
.

De plus, nous supposons qu’il s’agit de chiffres réels.
Considérer discriminant d'une équation quadratique:
.
Si le discriminant est positif, alors l'équation quadratique (1) a deux racines réelles différentes :
; .
Alors la factorisation du trinôme carré a la forme :
.
Si le discriminant est nul, alors l'équation quadratique (1) a deux racines réelles multiples (égales) :
.
Factorisation :
.
Si le discriminant est négatif, alors l'équation quadratique (1) a deux racines conjuguées complexes :
;
.
Voici l'unité imaginaire, ;
et sont les parties réelles et imaginaires des racines :
; .
Alors

.

Interprétation graphique

Si nous représentons graphiquement la fonction
,
qui est une parabole, alors les points d'intersection du graphique avec l'axe seront les racines de l'équation
.
Lorsque , le graphique coupe l'axe des x (axe) en deux points ().
Lorsque , le graphique touche l'axe des x en un point ().
Lorsque , le graphique ne coupe pas l'axe des x ().

Formules utiles liées à l'équation quadratique

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Dérivation de la formule des racines d'une équation quadratique

Nous effectuons des transformations et appliquons les formules (f.1) et (f.3) :




,
Où
; .

Ainsi, nous avons obtenu la formule du polynôme du deuxième degré sous la forme :
.
De là, on peut voir que l'équation

effectué à
Et .
Autrement dit, et sont les racines de l'équation quadratique
.

Exemples de détermination des racines d'une équation quadratique

Exemple 1

(1.1) .

.
En comparant avec notre équation (1.1), on retrouve les valeurs des coefficients :
.
Trouver le discriminant :
.
Puisque le discriminant est positif, l’équation a deux racines réelles :
;
;
.

De là on obtient la décomposition du trinôme carré en facteurs :

.

Graphique de la fonction y = 2 x 2 + 7 x + 3 croise l’axe des x en deux points.

Traçons la fonction
.
Le graphique de cette fonction est une parabole. Il croise l'axe des x (axe) en deux points :
Et .
Ces points sont les racines de l'équation originale (1.1).

;
;
.

Exemple 2

Trouvez les racines d'une équation quadratique :
(2.1) .

On écrit l'équation quadratique sous forme générale :
.
En comparant avec l'équation originale (2.1), on retrouve les valeurs des coefficients :
.
Trouver le discriminant :
.
Puisque le discriminant est nul, l'équation a deux racines multiples (égales) :
;
.

Alors la factorisation du trinôme a la forme :
.

Graphique de la fonction y = x 2 - 4 x + 4 touche l’axe des x à un moment donné.

Traçons la fonction
.
Le graphique de cette fonction est une parabole. Il touche l'axe des x (axe) en un point :
.
Ce point est la racine de l’équation originale (2.1). Puisque cette racine est factorisée deux fois :
,
alors une telle racine est appelée un multiple. Autrement dit, ils considèrent qu’il existe deux racines égales :
.

;
.

Exemple 3

Trouvez les racines d'une équation quadratique :
(3.1) .

On écrit l'équation quadratique sous forme générale :
(1) .
Réécrivons l'équation originale (3.1) :
.
En comparant avec (1), on retrouve les valeurs des coefficients :
.
Trouver le discriminant :
.
Le discriminant est négatif, . Il n’y a donc pas de véritables racines.

Vous pouvez trouver des racines complexes :
;
;
.

Alors


.

Le graphique de la fonction ne traverse pas l'axe des x. Il n’y a pas de véritables racines.

Traçons la fonction
.
Le graphique de cette fonction est une parabole. Il ne traverse pas l'abscisse (axe). Il n’y a donc pas de véritables racines.

Il n’y a pas de véritables racines. Racines complexes :
;
;
.

Voir également:

Lycée rural Kopyevskaya

10 façons de résoudre des équations quadratiques

Responsable : Patrikeeva Galina Anatolyevna,

professeur de mathématiques

village de Kopevo, 2007

1. Histoire du développement des équations quadratiques

1.1 Équations quadratiques dans l'ancienne Babylone

1.2 Comment Diophante a composé et résolu les équations quadratiques

1.3 Équations quadratiques en Inde

1.4 Équations quadratiques d'al-Khorezmi

1.5 Équations quadratiques en Europe XIII - XVII siècles

1.6 À propos du théorème de Vieta

2. Méthodes de résolution d'équations quadratiques

Conclusion

Littérature

1. Histoire du développement des équations quadratiques

1.1 Équations quadratiques dans l'ancienne Babylone

La nécessité de résoudre des équations non seulement du premier, mais aussi du deuxième degré, même dans l'Antiquité, était due à la nécessité de résoudre des problèmes liés à la recherche des superficies de terrains et aux travaux d'excavation à caractère militaire. comme pour le développement de l’astronomie et des mathématiques elles-mêmes. Les équations quadratiques ont pu être résolues vers 2000 avant JC. e. Babyloniens.

En utilisant la notation algébrique moderne, on peut dire que dans leurs textes cunéiformes il y a, en plus des textes incomplets, comme par exemple des équations quadratiques complètes :

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

La règle pour résoudre ces équations, exposée dans les textes babyloniens, coïncide essentiellement avec la règle moderne, mais on ne sait pas comment les Babyloniens sont arrivés à cette règle. Presque tous les textes cunéiformes trouvés jusqu'à présent ne fournissent que des problèmes avec des solutions présentées sous forme de recettes, sans aucune indication sur la manière dont ils ont été trouvés.

Malgré le haut niveau de développement de l'algèbre à Babylone, les textes cunéiformes manquent du concept de nombre négatif et de méthodes générales pour résoudre les équations quadratiques.

1.2 Comment Diophante a composé et résolu les équations quadratiques.

L'Arithmétique de Diophante ne contient pas une présentation systématique de l'algèbre, mais elle contient une série systématique de problèmes, accompagnés d'explications et résolus en construisant des équations de différents degrés.

Lors de la composition d'équations, Diophante sélectionne habilement les inconnues pour simplifier la solution.

Voici par exemple l'une de ses tâches.

Problème 11."Trouver deux nombres en sachant que leur somme est 20 et leur produit est 96"

Diophante raisonne ainsi : des conditions du problème il résulte que les nombres requis ne sont pas égaux, puisque s'ils étaient égaux, alors leur produit ne serait pas égal à 96, mais à 100. Ainsi, l'un d'eux sera supérieur à la moitié de leur somme, soit . 10 + x, l'autre est moins, c'est-à-dire 10. La différence entre eux 2x.

D'où l'équation :

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

D'ici x = 2. L'un des nombres requis est égal à 12 , autre 8 . Solution x = -2 car Diophante n'existe pas, puisque les mathématiques grecques ne connaissaient que des nombres positifs.

Si nous résolvons ce problème en choisissant l'un des nombres requis comme inconnu, nous arriverons alors à une solution à l'équation

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Il est clair qu'en choisissant comme inconnue la demi-différence des nombres requis, Diophante simplifie la solution ; il parvient à réduire le problème à la résolution d'une équation quadratique incomplète (1).

1.3 Équations quadratiques en Inde

Les problèmes liés aux équations quadratiques se retrouvent déjà dans le traité d'astronomie « Aryabhattiam », compilé en 499 par le mathématicien et astronome indien Aryabhatta. Un autre scientifique indien, Brahmagupta (VIIe siècle), a esquissé une règle générale pour résoudre des équations quadratiques réduites à une seule forme canonique :

ah 2 +bx = c, a > 0. (1)

Dans l'équation (1), les coefficients, sauf UN, peut aussi être négatif. La règle de Brahmagupta est essentiellement la même que la nôtre.

Dans l’Inde ancienne, les concours publics visant à résoudre des problèmes difficiles étaient courants. Un vieux livre indien dit à propos de telles compétitions : « De même que le soleil éclipse les étoiles par son éclat, ainsi un érudit éclipsera la gloire d’un autre dans les assemblées publiques, proposant et résolvant des problèmes algébriques. » Les problèmes étaient souvent présentés sous forme poétique.

C’est l’un des problèmes du célèbre mathématicien indien du XIIe siècle. Bhaskars.

Problème 13.

« Un troupeau de singes fringants, et douze le long des vignes...

Les autorités, après avoir mangé, se sont amusées. Ils ont commencé à sauter, à se suspendre...

Il y en a sur la place, partie 8. Combien y avait-il de singes ?

Je m'amusais dans la clairière. Dis-moi, dans ce pack ?

La solution de Bhaskara indique qu'il savait que les racines des équations quadratiques sont à deux valeurs (Fig. 3).

L'équation correspondant au problème 13 est :

(X/8) 2 + 12 = X

Bhaskara écrit sous couvert :

x2 - 64x = -768

et, pour compléter le côté gauche de cette équation au carré, ajoute aux deux côtés 32 2 , puis on obtient :

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x-32 = ± 16,

x1 = 16, x2 = 48.

1.4 Équations quadratiques dans al-Khorezmi

Dans le traité algébrique d'Al-Khorezmi, une classification des équations linéaires et quadratiques est donnée. L'auteur dénombre 6 types d'équations, les exprimant ainsi :

1) « Les carrés sont égaux aux racines », c'est-à-dire hache 2 + c =bX.

2) « Les carrés sont égaux aux nombres », c'est-à-dire hache 2 = s.

3) « Les racines sont égales au nombre », c'est-à-dire ah = s.

4) « Les carrés et les nombres sont égaux aux racines », c'est-à-dire hache 2 + c =bX.

5) « Les carrés et les racines sont égaux aux nombres », c'est-à-dire ah 2+bx= art.

6) « Les racines et les nombres sont égaux aux carrés », c'est-à-direbx+ c = hache 2.

Pour al-Khorezmi, qui a évité l’utilisation de nombres négatifs, les termes de chacune de ces équations sont des additions et non des soustraits. Dans ce cas, les équations qui n’ont pas de solutions positives ne sont évidemment pas prises en compte. L'auteur présente des méthodes pour résoudre ces équations en utilisant les techniques d'al-jabr et d'al-muqabala. Bien entendu, ses décisions ne coïncident pas complètement avec les nôtres. Sans compter que c'est purement rhétorique, il faut noter par exemple que lors de la résolution d'une équation quadratique incomplète du premier type

al-Khorezmi, comme tous les mathématiciens avant le XVIIe siècle, ne prend pas en compte la solution zéro, probablement parce que dans des problèmes pratiques spécifiques, cela n'a pas d'importance. Lors de la résolution d'équations quadratiques complètes, al-Khorezmi expose les règles pour les résoudre à l'aide d'exemples numériques particuliers, puis de preuves géométriques.

Tâche 14.« Le carré et le nombre 21 sont égaux à 10 racines. Trouvez la racine" (impliquant la racine de l'équation x 2 + 21 = 10x).

La solution de l'auteur ressemble à ceci : divisez le nombre de racines par deux, vous obtenez 5, multipliez 5 par lui-même, soustrayez 21 du produit, ce qui reste est 4. Prenez la racine de 4, vous obtenez 2. Soustrayez 2 de 5 , vous en obtenez 3, ce sera la racine souhaitée. Ou ajoutez 2 à 5, ce qui donne 7, c'est aussi une racine.

Le traité d'Al-Khorezmi est le premier livre qui nous soit parvenu, qui expose systématiquement la classification des équations quadratiques et donne des formules pour leur solution.

1.5 Équations quadratiques en EuropeXIII - XVIIIedes siècles

Les formules permettant de résoudre des équations quadratiques sur le modèle d'al-Khwarizmi en Europe ont été présentées pour la première fois dans le Livre de l'Abacus, écrit en 1202 par le mathématicien italien Leonardo Fibonacci. Cet ouvrage volumineux, qui reflète l'influence des mathématiques, tant des pays d'Islam que de la Grèce antique, se distingue par son exhaustivité et la clarté de sa présentation. L'auteur a développé de manière indépendante de nouveaux exemples algébriques de résolution de problèmes et a été le premier en Europe à aborder l'introduction de nombres négatifs. Son livre a contribué à la diffusion des connaissances algébriques non seulement en Italie, mais aussi en Allemagne, en France et dans d'autres pays européens. De nombreux problèmes du Livre de l'Abacus ont été utilisés dans presque tous les manuels européens des XVIe et XVIIe siècles. et en partie XVIII.

La règle générale pour résoudre des équations quadratiques réduite à une seule forme canonique :

x2+bx= avec,

pour toutes les combinaisons possibles de signes de coefficient b, Avec n'a été formulée en Europe qu'en 1544 par M. Stiefel.

La dérivation de la formule pour résoudre une équation quadratique sous forme générale est disponible chez Viète, mais Viète ne reconnaissait que les racines positives. Les mathématiciens italiens Tartaglia, Cardano, Bombelli furent parmi les premiers au XVIe siècle. En plus des racines positives, les racines négatives sont également prises en compte. Seulement au XVIIe siècle. Grâce aux travaux de Girard, Descartes, Newton et d'autres scientifiques, la méthode de résolution des équations quadratiques prend une forme moderne.

1.6 À propos du théorème de Vieta

Le théorème exprimant la relation entre les coefficients d'une équation quadratique et ses racines, du nom de Vieta, fut formulé par lui pour la première fois en 1591 comme suit : « Si B + D, multiplié par UN - UN 2 , équivaut à BD, Que UNéquivaut à DANS et égal D».

Pour comprendre Vieta, il faut se rappeler que UN, comme toute voyelle, signifiait l'inconnu (notre X), les voyelles DANS,D- coefficients pour l'inconnu. Dans le langage de l’algèbre moderne, la formulation Vieta ci-dessus signifie : s’il y a

(un +b)x - x 2 =un B,

x 2 - (un +b)x + uneb = 0,

x 1 = une, x 2 =b.

Exprimant la relation entre les racines et les coefficients des équations avec des formules générales écrites à l'aide de symboles, Viète a établi l'uniformité dans les méthodes de résolution des équations. Cependant, la symbolique du Viet est encore loin de sa forme moderne. Il ne reconnaissait pas les nombres négatifs et, par conséquent, lors de la résolution d'équations, il ne considérait que les cas où toutes les racines étaient positives.

2. Méthodes de résolution d'équations quadratiques

Les équations quadratiques sont le fondement sur lequel repose le majestueux édifice de l’algèbre. Les équations quadratiques sont largement utilisées pour résoudre des équations et des inégalités trigonométriques, exponentielles, logarithmiques, irrationnelles et transcendantales. Nous savons tous comment résoudre des équations quadratiques depuis l’école (8e année) jusqu’à l’obtention du diplôme.

Nous vous rappelons qu'une équation quadratique complète est une équation de la forme :

Résoudre des équations quadratiques complètes est un peu plus difficile (juste un peu) que celles-ci.

Souviens-toi, N'importe quelle équation quadratique peut être résolue à l'aide d'un discriminant !

Même incomplet.

Les autres méthodes vous aideront à le faire plus rapidement, mais si vous rencontrez des problèmes avec les équations quadratiques, maîtrisez d'abord la solution à l'aide du discriminant.

1. Résolution d'équations quadratiques à l'aide d'un discriminant.

Résoudre des équations quadratiques à l'aide de cette méthode est très simple : l'essentiel est de se souvenir de la séquence d'actions et de quelques formules.

Si, alors l’équation a 2 racines. Vous devez accorder une attention particulière à l'étape 2.

Le discriminant D nous indique le nombre de racines de l'équation.

• Si, alors la formule de l'étape sera réduite à. Ainsi, l’équation n’aura qu’une racine.
• Si, alors nous ne pourrons pas extraire la racine du discriminant à l'étape. Cela indique que l'équation n'a pas de racines.

Passons à la signification géométrique de l'équation quadratique.

Le graphique de la fonction est une parabole :

Revenons à nos équations et regardons quelques exemples.

Exemple 9

Résous l'équation

Étape 1 nous sautons.

Étape 2

Trouver le discriminant :

Cela signifie que l’équation a deux racines.

Étape 3.

Répondre:

Exemple 10

Résous l'équation

L'équation est présentée sous forme standard, donc Étape 1 nous sautons.

Étape 2

Trouver le discriminant :

Cela signifie que l’équation a une racine.

Répondre:

Exemple 11

Résous l'équation

L'équation est présentée sous forme standard, donc Étape 1 nous sautons.

Étape 2

Trouver le discriminant :

Cela signifie que nous ne pourrons pas extraire la racine du discriminant. Il n’y a pas de racines de l’équation.

Nous savons maintenant comment écrire correctement ces réponses.

Répondre: pas de racines

2. Résolution d'équations quadratiques à l'aide du théorème de Vieta

Si vous vous souvenez, il existe un type d'équation que l'on dit réduite (lorsque le coefficient a est égal à) :

De telles équations sont très faciles à résoudre à l’aide du théorème de Vieta :

Somme des racines donné l'équation quadratique est égale et le produit des racines est égal.

Il suffit de choisir une paire de nombres dont le produit est égal au terme libre de l'équation, et la somme est égale au deuxième coefficient, pris de signe opposé.

Exemple 12

Résous l'équation

Cette équation peut être résolue à l'aide du théorème de Vieta car .

La somme des racines de l'équation est égale, c'est-à-dire on obtient la première équation :

Et le produit est égal à :

Composons et résolvons le système :

• Et. Le montant est égal à :
• Et. Le montant est égal à :
• Et. Le montant est égal.

et sont la solution au système :

Répondre: ; .

Exemple 13

Résous l'équation

Répondre:

Exemple 14

Résous l'équation

L'équation est donnée, ce qui signifie :

Répondre:

ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. NIVEAU MOYEN

Qu'est-ce qu'une équation quadratique ?

En d'autres termes, une équation quadratique est une équation de la forme où - l'inconnue, - des nombres, et.

Le nombre est appelé le plus élevé ou premier coefficientéquation quadratique, - deuxième coefficient, UN - Membre gratuit.

Parce que si l'équation devient immédiatement linéaire, parce que disparaîtra.

Dans ce cas, et peut être égal à zéro. Dans cette chaise, l'équation est appelée incomplet.

Si tous les termes sont en place, l’équation est complet.

Méthodes de résolution d'équations quadratiques incomplètes

Tout d'abord, examinons les méthodes de résolution d'équations quadratiques incomplètes - elles sont plus simples.

On peut distinguer les types d'équations suivants :

I., dans cette équation le coefficient et le terme libre sont égaux.

II. , dans cette équation le coefficient est égal.

III. , dans cette équation le terme libre est égal à.

Examinons maintenant la solution à chacun de ces sous-types.

Évidemment, cette équation n’a toujours qu’une seule racine :

Un nombre au carré ne peut pas être négatif, car lorsque vous multipliez deux nombres négatifs ou deux nombres positifs, le résultat sera toujours un nombre positif. C'est pourquoi:

si, alors l'équation n'a pas de solutions ;

si nous avons deux racines

Il n'est pas nécessaire de mémoriser ces formules. La principale chose à retenir est que cela ne peut pas être inférieur.

Exemples de résolution d'équations quadratiques

Exemple 15

Répondre:

N'oubliez jamais les racines avec un signe négatif !

Exemple 16

Le carré d'un nombre ne peut pas être négatif, ce qui signifie que l'équation

pas de racines.

Pour écrire brièvement qu'un problème n'a pas de solution, nous utilisons l'icône d'ensemble vide.

Répondre:

Exemple 17

Ainsi, cette équation a deux racines : et.

Répondre:

Sortons le facteur commun des parenthèses :

Le produit est égal à zéro si au moins un des facteurs est égal à zéro. Cela signifie que l'équation a une solution lorsque :

Ainsi, cette équation quadratique a deux racines : et.

Exemple:

Résous l'équation.

Solution:

Factorisons le côté gauche de l'équation et trouvons les racines :

Répondre:

Méthodes de résolution d'équations quadratiques complètes

1. Discriminant

Résoudre des équations quadratiques de cette manière est facile, l'essentiel est de se souvenir de la séquence d'actions et de quelques formules. N'oubliez pas que n'importe quelle équation quadratique peut être résolue à l'aide d'un discriminant ! Même incomplet.

Avez-vous remarqué la racine du discriminant dans la formule des racines ?

Mais le discriminant peut être négatif.

Ce qu'il faut faire?

Nous devons accorder une attention particulière à l’étape 2. Le discriminant nous indique le nombre de racines de l’équation.

• Si, alors l'équation a des racines :
• Si, alors l'équation a les mêmes racines, et en fait une seule racine :

  Ces racines sont appelées racines doubles.

• Si, alors la racine du discriminant n’est pas extraite. Cela indique que l'équation n'a pas de racines.

Pourquoi différents nombres de racines sont-ils possibles ?

Passons à la signification géométrique de l'équation quadratique. Le graphique de la fonction est une parabole :

Dans un cas particulier, qui est une équation quadratique, .

Cela signifie que les racines d'une équation quadratique sont les points d'intersection avec l'axe des abscisses (axis).

Une parabole peut ne pas couper l'axe du tout, ou peut le couper en un (lorsque le sommet de la parabole se trouve sur l'axe) ou en deux points.

De plus, le coefficient est responsable de la direction des branches de la parabole. Si, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, et si, alors vers le bas.

4 exemples de résolution d'équations quadratiques

Exemple 18

Répondre:

Exemple 19

Répondre: .

Exemple 20

Répondre:

Exemple 21

Cela signifie qu'il n'y a pas de solutions.

Répondre: .

2. Théorème de Vieta

Utiliser le théorème de Vieta est très simple.

Tout ce dont tu as besoin c'est ramasser une telle paire de nombres dont le produit est égal au terme libre de l'équation, et la somme est égale au deuxième coefficient, pris avec le signe opposé.

Il est important de rappeler que le théorème de Vieta ne peut s'appliquer que dans équations quadratiques réduites ().

Regardons quelques exemples :

Exemple 22

Résous l'équation.

Solution:

Cette équation peut être résolue à l'aide du théorème de Vieta car . Autres coefficients : ; .

La somme des racines de l’équation est :

Et le produit est égal à :

Sélectionnons des paires de nombres dont le produit est égal et vérifions si leur somme est égale :

• Et. Le montant est égal à :
• Et. Le montant est égal à :
• Et. Le montant est égal.

et sont la solution au système :

Ainsi, et sont les racines de notre équation.

Répondre: ; .

Exemple 23

Solution:

Sélectionnons des paires de nombres qui donnent le produit, puis vérifions si leur somme est égale :

et : ils donnent au total.

et : ils donnent au total. Pour l'obtenir, il suffit simplement de changer les signes des racines supposées : et, après tout, du produit.

Répondre:

Exemple 24

Solution:

Le terme libre de l’équation est négatif, et donc le produit des racines est un nombre négatif. Cela n’est possible que si l’une des racines est négative et l’autre positive. La somme des racines est donc égale à différences de leurs modules.

Sélectionnons des paires de nombres qui donnent le produit, et dont la différence est égale à :

et : leur différence est égale - ne correspond pas ;

et : - ne convient pas ;

et : - ne convient pas ;

et : - approprié. Il ne reste plus qu'à rappeler qu'une des racines est négative. Puisque leur somme doit être égale, la racine de module le plus petit doit être négative : . Nous vérifions:

Répondre:

Exemple 25

Résous l'équation.

Solution:

L'équation est donnée, ce qui signifie :

Le terme libre est négatif, donc le produit des racines est négatif. Et cela n’est possible que lorsqu’une racine de l’équation est négative et l’autre positive.

Sélectionnons des paires de nombres dont le produit est égal, puis déterminons quelles racines doivent avoir un signe négatif :

Evidemment, seules les racines et conviennent à la première condition :

Répondre:

Exemple 26

Résous l'équation.

Solution:

L'équation est donnée, ce qui signifie :

La somme des racines est négative, ce qui signifie qu’au moins une des racines est négative. Mais comme leur produit est positif, cela signifie que les deux racines ont un signe moins.

Sélectionnons des paires de nombres dont le produit est égal à :

Évidemment, les racines sont les nombres et.

Répondre:

D'accord, il est très pratique de trouver des racines oralement, au lieu de compter ce méchant discriminant.

Essayez d'utiliser le théorème de Vieta aussi souvent que possible !

Mais le théorème de Vieta est nécessaire pour faciliter et accélérer la recherche des racines.

Pour que vous puissiez bénéficier de son utilisation, vous devez rendre les actions automatiques. Et pour cela, résolvez cinq autres exemples.

Mais ne trichez pas : vous ne pouvez pas utiliser de discriminant ! Seulement le théorème de Vieta !

5 exemples du théorème de Vieta pour le travail indépendant

Exemple 27

Tâche 1. ((x)^(2))-8x+12=0

D'après le théorème de Vieta :

Comme d'habitude, on commence la sélection par le morceau :

Ne convient pas car le montant ;

: le montant est exactement ce dont vous avez besoin.

Répondre: ; .

Exemple 28

Tâche 2.

Et encore notre théorème Vieta préféré : la somme doit être égale et le produit doit être égal.

Mais comme il ne doit pas en être ainsi, mais, on change les signes des racines : et (au total).

Répondre: ; .

Exemple 29

Tâche 3.

Hmm... Où est-ce ?

Vous devez déplacer tous les termes en une seule partie :

La somme des racines est égale au produit.

Bon, arrête ! L'équation n'est pas donnée.

Mais le théorème de Vieta n'est applicable que dans les équations données.

Vous devez donc d’abord donner une équation.

Si vous ne pouvez pas diriger, abandonnez cette idée et résolvez-la d’une autre manière (par exemple, par le biais d’un discriminant).

Permettez-moi de vous rappeler que donner une équation quadratique signifie rendre le coefficient dominant égal :

Alors la somme des racines est égale à et le produit.

Ici, c’est aussi simple que d’éplucher des poires pour choisir : après tout, c’est un nombre premier (désolé pour la tautologie).

Répondre: ; .

Exemple 30

Tâche 4.

Le membre libre est négatif.

Qu'est-ce qu'il y a de spécial là-dedans ?

Et le fait est que les racines auront des signes différents.

Et maintenant, lors de la sélection, on vérifie non pas la somme des racines, mais la différence de leurs modules : cette différence est égale, mais un produit.

Ainsi, les racines sont égales à et, mais l'une d'elles est moins.

Le théorème de Vieta nous dit que la somme des racines est égale au deuxième coefficient de signe opposé, c'est-à-dire.

Cela signifie que la racine la plus petite aura un moins : et, depuis.

Répondre: ; .

Exemple 31

Tâche 5.

Que devez-vous faire en premier ?

C'est vrai, donnez l'équation :

Encore une fois : on sélectionne les facteurs du nombre, et leur différence doit être égale à :

Les racines sont égales à et, mais l'une d'elles est moins. Lequel? Leur somme doit être égale, ce qui signifie que le moins aura une racine plus grande.

Répondre: ; .

Résumer

1. Le théorème de Vieta n'est utilisé que dans les équations quadratiques données.
2. En utilisant le théorème de Vieta, vous pouvez trouver les racines par sélection, oralement.
3. Si l'équation n'est pas donnée ou si aucune paire de facteurs appropriée du terme libre n'est trouvée, alors il n'y a pas de racines entières et vous devez la résoudre d'une autre manière (par exemple, via un discriminant).

3. Méthode de sélection d'un carré complet

Si tous les termes contenant l'inconnue sont représentés sous la forme de termes issus de formules de multiplication abrégées - le carré de la somme ou de la différence - alors après remplacement des variables, l'équation peut être présentée sous la forme d'une équation quadratique incomplète du type .

Par exemple:

Exemple 32

Résous l'équation: .

Solution:

Répondre:

Exemple 33

Résous l'équation: .

Solution:

Répondre:

En général, la transformation ressemblera à ceci :

Cela implique: .

Cela ne vous rappelle rien ?

C'est une chose discriminatoire ! C'est exactement ainsi que nous avons obtenu la formule discriminante.

ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

Équation quadratique- c'est une équation de la forme où - l'inconnue, - les coefficients de l'équation quadratique, - le terme libre.

Équation quadratique complète- une équation dans laquelle les coefficients ne sont pas égaux à zéro.

Équation quadratique réduite- une équation dans laquelle le coefficient, soit : .

Équation quadratique incomplète- une équation dans laquelle le coefficient et/ou le terme libre c sont égaux à zéro :

• si le coefficient, l'équation ressemble à : ,
• s'il existe un terme libre, l'équation a la forme : ,
• si et, l'équation ressemble à : .

1. Algorithme de résolution d'équations quadratiques incomplètes

1.1. Une équation quadratique incomplète de la forme, où :

1) Exprimons l'inconnu : ,

2) Vérifiez le signe de l'expression :

• si, alors l'équation n'a pas de solutions,
• si, alors l'équation a deux racines.

1.2. Une équation quadratique incomplète de la forme, où :

1) Retirons le facteur commun entre parenthèses : ,

2) Le produit est égal à zéro si au moins un des facteurs est égal à zéro. L’équation a donc deux racines :

1.3. Une équation quadratique incomplète de la forme, où :

Cette équation n'a toujours qu'une seule racine : .

2. Algorithme de résolution d'équations quadratiques complètes de la forme où

2.1. Solution utilisant le discriminant

1) Mettons l'équation sous forme standard : ,

2) Calculons le discriminant à l'aide de la formule : , qui indique le nombre de racines de l'équation :

3) Trouvez les racines de l'équation :

• si, alors l'équation a des racines, qui sont trouvées par la formule :
• si, alors l'équation a une racine, qui se trouve par la formule :
• si, alors l'équation n'a pas de racines.

2.2. Solution utilisant le théorème de Vieta

La somme des racines de l'équation quadratique réduite (équation de la forme où) est égale, et le produit des racines est égal, c'est-à-dire , UN.

2.3. Solution par la méthode de sélection d'un carré complet

Tutoriel vidéo 2 : Résoudre des équations quadratiques

Conférence: Équations du second degré

L'équation

L'équation- c'est une sorte d'égalité dans les expressions de laquelle il y a une variable.

Résous l'équation- signifie trouver un nombre au lieu d'une variable qui le mettra dans une égalité correcte.

Une équation peut avoir une solution, plusieurs ou aucune.

Pour résoudre n’importe quelle équation, il faut la simplifier autant que possible sous la forme :

Linéaire: a*x = b;

Carré: a*x 2 + b*x + c = 0.

Autrement dit, toutes les équations doivent être converties sous forme standard avant d'être résolues.

Toute équation peut être résolue de deux manières : analytique et graphique.

Sur le graphique, la solution de l'équation est considérée comme étant les points auxquels le graphique coupe l'axe OX.

Équations du second degré

Une équation peut être dite quadratique si, simplifiée, elle prend la forme :

a*x 2 + b*x + c = 0.

Où une, b, c sont des coefficients de l’équation qui diffèrent de zéro. UN "X"- racine de l'équation. On pense qu’une équation quadratique a deux racines ou peut ne pas avoir de solution du tout. Les racines résultantes peuvent être les mêmes.

"UN"- le coefficient qui précède la racine carrée.

"b"- se tient devant l'inconnu au premier degré.

"Avec" est le terme libre de l'équation.

Si par exemple on a une équation de la forme :

2x2 -5x+3=0

Dans celui-ci, « 2 » est le coefficient du terme principal de l'équation, « -5 » est le deuxième coefficient et « 3 » est le terme libre.

Résoudre une équation quadratique

Il existe une grande variété de façons de résoudre une équation quadratique. Cependant, dans un cours de mathématiques scolaire, la solution est étudiée à l’aide du théorème de Vieta, ainsi qu’à l’aide d’un discriminant.

Solution discriminante :

Lors de la résolution à l'aide de cette méthode, il est nécessaire de calculer le discriminant à l'aide de la formule :

Si lors de vos calculs vous constatez que le discriminant est inférieur à zéro, cela signifie que cette équation n'a pas de solution.

Si le discriminant est nul, alors l’équation a deux solutions identiques. Dans ce cas, le polynôme peut être réduit en utilisant la formule de multiplication abrégée dans le carré de la somme ou de la différence. Résolvez-le ensuite comme une équation linéaire. Ou utilisez la formule :

Si le discriminant est supérieur à zéro, alors vous devez utiliser la méthode suivante :

Théorème de Vieta

Si l'équation est donnée, c'est-à-dire que le coefficient du terme principal est égal à un, alors vous pouvez utiliser Théorème de Vieta.

Supposons donc que l'équation soit :

Les racines de l’équation se trouvent comme suit :

Équation quadratique incomplète

Il existe plusieurs options pour obtenir une équation quadratique incomplète dont la forme dépend de la présence de coefficients.

1. Si les deuxième et troisième coefficients sont nuls (b = 0, c = 0), alors l'équation quadratique ressemblera à :

Cette équation aura une solution unique. L'égalité ne sera vraie que si la solution de l'équation est nulle.