Exercer.
Trouvez la valeur de x à.
Solution.
Trouver la valeur d'un argument de fonction à laquelle il est égal à n'importe quelle valeur signifie déterminer pour quels arguments la valeur sinus sera exactement la même que celle indiquée dans la condition.
Dans ce cas, nous devons savoir à quelles valeurs la valeur du sinus sera égale à 1/2. Cela peut être fait de plusieurs manières.
Par exemple, utilisez, pour déterminer à quelles valeurs de x la fonction sinus sera égale à 1/2.
Une autre façon est d'utiliser. Permettez-moi de vous rappeler que les valeurs des sinus se trouvent sur l'axe Oy.
La manière la plus courante consiste à se référer, en particulier lorsqu'il s'agit de valeurs standard pour cette fonction telles que 1/2.
Dans tous les cas, n'oubliez pas l'une des propriétés les plus importantes du sinus - sa période.
Cherchons la valeur 1/2 pour le sinus dans le tableau et voyons quels arguments lui correspondent. Les arguments qui nous intéressent sont Pi/6 et 5Pi/6.
Écrivons toutes les racines qui satisfont l'équation donnée. Pour ce faire, nous écrivons l'argument inconnu x qui nous intéresse et l'une des valeurs de l'argument obtenu à partir du tableau, c'est-à-dire Pi / 6. Écrivons pour cela, en tenant compte de la période sinusoïdale , toutes les valeurs de l'argument :
Prenons la deuxième valeur et suivons les mêmes étapes que dans le cas précédent :
La solution complète de l'équation d'origine serait : 
et 
q peut être n'importe quelle valeur entière.
|BD | - la longueur de l'arc de cercle centré au point A.
est l'angle exprimé en radians.
Tangente ( tg) est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle entre l'hypoténuse et la jambe d'un triangle rectangle, égal au rapport de la longueur de la jambe opposée | BC | à la longueur de la jambe adjacente |AB | ...
Cotangente ( ctg) est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle entre l'hypoténuse et la branche d'un triangle rectangle, égal au rapport de la longueur de la branche adjacente |AB | à la longueur de la jambe opposée | BC | ...
Tangente
Où m- ensemble.
Dans la littérature occidentale, la tangente est notée comme suit :
.
;
;
.
Tracé de la fonction tangente, y = tg x
Cotangente
Où m- ensemble.
Dans la littérature occidentale, la cotangente est notée comme suit :
.
Les désignations suivantes sont également adoptées :
;
;
.
Graphique de la fonction cotangente, y = ctg x
Propriétés tangentes et cotangentes
Périodicité
Fonctions y = tg x et y = ctg x périodique avec une période de .
Parité
Les fonctions tangente et cotangente sont impaires.
Domaines et valeurs, croissants, décroissants
Les fonctions tangente et cotangente sont continues sur leur domaine de définition (voir la preuve de continuité). Les principales propriétés de la tangente et de la cotangente sont présentées dans le tableau ( m- ensemble).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Domaine de définition et continuité | ||
| Plage de valeurs | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Ascendant | - | |
| Descendant | - | |
| Extrêmes | - | - |
| Zéros, y = 0 | ||
| Points d'intersection avec l'axe des y, x = 0 | y = 0 | - |
Formules
Expressions en termes de sinus et de cosinus
;
;
;
;
;
Formules pour la tangente et la cotangente de la somme et de la différence
Le reste des formules est facile à obtenir, par exemple
Produit de tangentes
Formule pour la somme et la différence des tangentes
Ce tableau montre les valeurs des tangentes et des cotangentes pour certaines valeurs de l'argument. 
Expressions en termes de nombres complexes
Expressions en termes de fonctions hyperboliques
;
;
Dérivés
; .
.
Dérivée d'ordre n par rapport à la variable x de la fonction :
.
Dérivation des formules pour la tangente>>> ; pour cotangente>>>
Intégrales
Extensions de série
Pour obtenir un développement de la tangente en puissances de x, il faut prendre plusieurs termes du développement en séries entières pour les fonctions péché x et cos x et diviser ces polynômes les uns par les autres,. Cela donne les formules suivantes.
À .
à .
où Bn- Les nombres de Bernoulli. Ils sont déterminés soit à partir de la relation de récurrence :
;
;
où .
Soit selon la formule de Laplace : 
Fonctions inverses
Les fonctions inverses de la tangente et de la cotangente sont respectivement l'arc tangente et l'arc cotangente.
Arctangente, arctg
, où m- ensemble.
Arccotangente, arcctg
, où m- ensemble.
Les références:
DANS. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manuel de mathématiques pour les ingénieurs et les étudiants des établissements techniques, "Lan", 2009.
G. Korn, A Handbook of Mathematics for Scientists and Engineers, 2012.
Sur cette page, vous trouverez toutes les formules trigonométriques de base qui vous aideront à résoudre de nombreux exercices, simplifiant grandement l'expression elle-même.
Les formules trigonométriques sont des égalités mathématiques pour les fonctions trigonométriques qui sont exécutées pour toutes les valeurs valides de l'argument.
Les formules définissent la relation entre les principales fonctions trigonométriques - sinus, cosinus, tangente, cotangente.
Le sinus d'un angle est la coordonnée y d'un point (ordonnée) sur le cercle unité. Le cosinus d'un angle est la coordonnée x du point (abscisse).
La tangente et la cotangente sont respectivement le rapport du sinus au cosinus et vice versa.
`sin \ \ alpha, \ cos \ \ alpha`
`tg\\alpha =\frac(sin\\alpha)(cos\\alpha),``\alpha\ne\frac\pi2 +\pi n,\n\in Z`
`ctg \\alpha =\frac(cos\\alpha)(sin\\alpha),``\alpha\ne\pi +\pi n,\n\in Z`
Et deux, qui sont moins souvent utilisés - sécante, cosécante. Ils représentent les rapports de 1 au cosinus et au sinus.
`sec\\alpha =\frac (1)(cos\\alpha),``\alpha\ne\frac\pi2 +\pi n,\n\in Z`
`cosec\\alpha =\frac (1) (sin\\alpha),``\alpha\ne\pi +\pi n,\n\in Z`
A partir des définitions des fonctions trigonométriques, vous pouvez voir quels signes elles ont dans chaque quartier. Le signe de la fonction dépend uniquement du quartier dans lequel se trouve l'argument.
Lorsque le signe de l'argument passe de "+" à "-", seule la fonction cosinus ne change pas sa valeur. On l'appelle pair. Son graphique est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Les autres fonctions (sinus, tangente, cotangente) sont impaires. Lorsque vous modifiez le signe de l'argument de "+" à "-", leur valeur devient également négative. Leurs tracés sont symétriques par rapport à l'origine.
`sin (- \ alpha) = - sin \ \ alpha`
`cos (- \ alpha) = cos \ \ alpha`
`tg (- \ alpha) = - tg \ \ alpha`
`ctg (- \ alpha) = - ctg \ \ alpha`
Identités trigonométriques de base
Les identités trigonométriques de base sont des formules qui établissent une connexion entre des fonctions trigonométriques d'un angle (`sin \ \ alpha, \ cos \ \ alpha, \ tg \ \ alpha, \ ctg \ \ alpha`) et qui vous permettent de trouver la valeur de chacune de ces fonctions à travers toute autre connue.
`sin ^ 2 \ alpha + cos ^ 2 \ alpha = 1`
`tg \ \ alpha \ cdot ctg \ \ alpha = 1, \ \ alpha \ ne \ frac (\ pi n) 2, \ n \ in Z`
`1 + tg ^ 2 \ alpha = \ frac 1 (cos ^ 2 \ alpha) = sec ^ 2 \ alpha,` `\ alpha \ ne \ frac \ pi2 + \ pi n, \ n \ in Z`
`1 + ctg ^ 2 \ alpha = \ frac 1 (sin ^ 2 \ alpha) = cosec ^ 2 \ alpha,` `\ alpha \ ne \ pi n, \ n \ in Z`
Formules pour la somme et la différence des angles des fonctions trigonométriques
Les formules d'addition et de soustraction d'arguments expriment les fonctions trigonométriques de la somme ou de la différence de deux angles en fonction des fonctions trigonométriques de ces angles.
`sin (\alpha + \beta) =` `sin \\alpha\cos\\beta + cos\\alpha\sin \\beta`
`sin (\alpha- \beta) =` `sin \\alpha\cos\\beta-cos\\alpha\sin \\beta`
`cos (\ alpha + \ beta) =` `cos \ \ alpha \ cos \ \ beta-sin \ \ alpha \ sin \ \ beta`
`cos (\ alpha- \ beta) =` `cos \ \ alpha \ cos \ \ beta + sin \ \ alpha \ sin \ \ beta`
`tg (\ alpha + \ beta) = \ frac (tg \ \ alpha + tg \ \ beta) (1-tg \ \ alpha \ tg \ \ beta)`
`tg (\alpha-\beta) = \frac (tg\\alpha-tg\\beta) (1 + tg\\alpha\tg\\beta)`
`ctg (\alpha + \beta) = \frac (ctg\\alpha\ctg\\beta-1) (ctg\\beta + ctg\\alpha)`
`ctg (\alpha-\beta) = \frac (ctg\\alpha\ctg\\beta+1) (ctg\\beta-ctg\\alpha)`
Formules à double angle
`sin \ 2 \ alpha = 2 \ sin \ \ alpha \ cos \ \ alpha =` `\ frac (2 \ tg \ \ alpha) (1 + tg ^ 2 \ alpha) = \ frac (2 \ ctg \ \ alpha) ) (1 + ctg ^ 2 \ alpha) = `` \ frac 2 (tg \ \ alpha + ctg \ \ alpha) `
`cos \ 2 \ alpha = cos ^ 2 \ alpha-sin ^ 2 \ alpha =` `1-2 \ sin ^ 2 \ alpha = 2 \ cos ^ 2 \ alpha-1 =` `\ frac (1-tg ^ 2 \ alpha) (1 + tg ^ 2 \ alpha) = \ frac (ctg ^ 2 \ alpha-1) (ctg ^ 2 \ alpha + 1) = `` \ frac (ctg \ \ alpha-tg \ \ alpha) (ctg \ \ alpha + tg \ \ alpha) `
`tg \ 2 \ alpha = \ frac (2 \ tg \ \ alpha) (1-tg ^ 2 \ alpha) =` `\ frac (2 \ ctg \ \ alpha) (ctg ^ 2 \ alpha-1) =` `\ frac 2 (\ ctg \ \ alpha-tg \ \ alpha)`
`ctg \ 2 \ alpha = \ frac (ctg ^ 2 \ alpha-1) (2 \ ctg \ \ alpha) =` `\ frac (\ ctg \ \ alpha-tg \ \ alpha) 2`
Formules à trois angles
`sin \ 3 \ alpha = 3 \ sin \ \ alpha-4sin ^ 3 \ alpha`
`cos \ 3 \ alpha = 4cos ^ 3 \ alpha-3 \ cos \ \ alpha`
`tg \ 3 \ alpha = \ frac (3 \ tg \ \ alpha-tg ^ 3 \ alpha) (1-3 \ tg ^ 2 \ alpha)`
`ctg \ 3 \ alpha = \ frac (ctg ^ 3 \ alpha-3 \ ctg \ \ alpha) (3 \ ctg ^ 2 \ alpha-1)`
Formules demi-angle
`sin \ \ frac \ alpha 2 = \ pm \ sqrt (\ frac (1-cos \ \ alpha) 2)`
`cos \ \ frac \ alpha 2 = \ pm \ sqrt (\ frac (1 + cos \ \ alpha) 2)`
`tg \ \ frac \ alpha 2 = \ pm \ sqrt (\ frac (1-cos \ \ alpha) (1 + cos \ \ alpha)) =` `\ frac (sin \ \ alpha) (1 + cos \ \ alpha) = \ frac (1-cos \ \ alpha) (sin \ \ alpha) `
`ctg \ \ frac \ alpha 2 = \ pm \ sqrt (\ frac (1 + cos \ \ alpha) (1-cos \ \ alpha)) =` `\ frac (sin \ \ alpha) (1-cos \ \ alpha) = \ frac (1 + cos \ \ alpha) (sin \ \ alpha) `
Les formules pour les arguments demi, double et triple expriment les fonctions `sin, \ cos, \ tg, \ ctg` de ces arguments (` \ frac (\ alpha) 2, \ 2 \ alpha, \ 3 \ alpha, ... ` ) via l'argument de ces fonctions `\ alpha`.
Leur sortie peut être obtenue à partir du groupe précédent (addition et soustraction d'arguments). Par exemple, les identités à double angle peuvent être facilement obtenues en remplaçant `\ beta` par ` \ alpha`.
Formules de réduction de degré
Les formules des carrés (cubes, etc.) des fonctions trigonométriques permettent de passer de 2,3, ... degrés aux fonctions trigonométriques du premier degré, mais à angles multiples (`\ alpha, \ 3 \ alpha, \ ... ` ou `2 \ alpha, \ 4 \ alpha, \ ... `).
`sin ^ 2 \ alpha = \ frac (1-cos \ 2 \ alpha) 2,` `(sin ^ 2 \ frac \ alpha 2 = \ frac (1-cos \ \ alpha) 2)`
`cos ^ 2 \ alpha = \ frac (1 + cos \ 2 \ alpha) 2,` `(cos ^ 2 \ frac \ alpha 2 = \ frac (1 + cos \ \ alpha) 2)`
`sin ^ 3 \ alpha = \ frac (3sin \ \ alpha-sin \ 3 \ alpha) 4`
`cos ^ 3 \ alpha = \ frac (3cos \ \ alpha + cos \ 3 \ alpha) 4`
`sin ^ 4 \ alpha = \ frac (3-4cos \ 2 \ alpha + cos \ 4 \ alpha) 8`
`cos ^ 4 \ alpha = \ frac (3 + 4cos \ 2 \ alpha + cos \ 4 \ alpha) 8`
Formules de somme et de différence pour les fonctions trigonométriques
Les formules sont des transformations de la somme et de la différence des fonctions trigonométriques de différents arguments en un produit.
`sin \ \ alpha + sin \ \ beta =` `2 \ sin \ frac (\ alpha + \ beta) 2 \ cos \ frac (\ alpha- \ beta) 2`
`sin \ \ alpha-sin \ \ beta =` `2 \ cos \ frac (\ alpha + \ beta) 2 \ sin \ frac (\ alpha- \ beta) 2`
`cos \ \ alpha + cos \ \ beta =` `2 \ cos \ frac (\ alpha + \ beta) 2 \ cos \ frac (\ alpha- \ beta) 2`
`cos \ \ alpha-cos \ \ beta =` ` -2 \ sin \ frac (\ alpha + \ beta) 2 \ sin \ frac (\ alpha- \ beta) 2 =` `2 \ sin \ frac (\ alpha + \ beta) 2 \ sin \ frac (\ beta- \ alpha) 2`
`tg \ \ alpha \ pm tg \ \ beta = \ frac (sin (\ alpha \ pm \ beta)) (cos \ \ alpha \ cos \ \ beta)`
`ctg \ \ alpha \ pm ctg \ \ beta = \ frac (sin (\ beta \ pm \ alpha)) (sin \ \ alpha \ sin \ \ beta)`
`tg \ \ alpha \ pm ctg \ \ beta =` `\ pm \ frac (cos (\ alpha \ mp \ beta)) (cos \ \ alpha \ sin \ \ beta)`
Ici, l'addition et la soustraction de fonctions d'un argument sont converties en un produit.
`cos \ \ alpha + sin \ \ alpha = \ sqrt (2) \ cos (\ frac (\ pi) 4- \ alpha)`
`cos \ \ alpha-sin \ \ alpha = \ sqrt (2) \ sin (\ frac (\ pi) 4- \ alpha)`
`tg \ \ alpha + ctg \ \ alpha = 2 \ cosec \ 2 \ alpha;` `tg \ \ alpha-ctg \ \ alpha = -2 \ ctg \ 2 \ alpha`
Les formules suivantes convertissent la somme et la différence d'une unité et d'une fonction trigonométrique en un produit.
`1 + cos \ \ alpha = 2 \ cos ^ 2 \ frac (\ alpha) 2`
`1-cos \ \ alpha = 2 \ sin ^ 2 \ frac (\ alpha) 2`
`1 + sin \ \ alpha = 2 \ cos ^ 2 (\ frac (\ pi) 4- \ frac (\ alpha) 2)`
`1-sin \ \ alpha = 2 \ sin ^ 2 (\ frac (\ pi) 4- \ frac (\ alpha) 2)`
`1 \ pm tg \ \ alpha = \ frac (sin (\ frac (\ pi) 4 \ pm \ alpha)) (cos \ frac (\ pi) 4 \ cos \ \ alpha) =` `\ frac (\ sqrt (2) sin (\ frac (\ pi) 4 \ pm \ alpha)) (cos \ \ alpha) `
`1 \ pm tg \ \ alpha \ tg \ \ beta = \ frac (cos (\ alpha \ mp \ beta)) (cos \ \ alpha \ cos \ \ beta);` `\ ctg \ \ alpha \ ctg \ \ beta \ pm 1 = \ frac (cos (\ alpha \ mp \ beta)) (sin \ \ alpha \ sin \ \ beta) `
Formules de conversion des produits de fonctions
Formules pour convertir le produit des fonctions trigonométriques avec les arguments `\ alpha` et ` \ beta` en la somme (différence) de ces arguments.
`sin \ \ alpha \ sin \ \ beta =` `\ frac (cos (\ alpha - \ beta) -cos (\ alpha + \ beta)) (2)`
`sin \ alpha \ cos \ beta =` `\ frac (sin (\ alpha - \ beta) + sin (\ alpha + \ beta)) (2)`
`cos \ \ alpha \ cos \ \ beta =` `\ frac (cos (\ alpha - \ beta) + cos (\ alpha + \ beta)) (2)`
`tg \ \ alpha \ tg \ \ beta =` `\ frac (cos (\ alpha - \ beta) -cos (\ alpha + \ beta)) (cos (\ alpha - \ beta) + cos (\ alpha + \ beta)) = `` \ frac (tg \ \ alpha + tg \ \ beta) (ctg \ \ alpha + ctg \ \ beta) `
`ctg \ \ alpha \ ctg \ \ beta =` `\ frac (cos (\ alpha - \ beta) + cos (\ alpha + \ beta)) (cos (\ alpha - \ beta) -cos (\ alpha + \ beta)) = `` \ frac (ctg \ \ alpha + ctg \ \ beta) (tg \ \ alpha + tg \ \ beta) `
`tg \ \ alpha \ ctg \ \ beta =` `\ frac (sin (\ alpha - \ beta) + sin (\ alpha + \ beta)) (sin (\ alpha + \ beta) -sin (\ alpha - \ bêta)) `
Substitution trigonométrique générique
Ces formules expriment des fonctions trigonométriques en termes de tangente d'un demi-angle.
`sin \ \ alpha = \ frac (2tg \ frac (\ alpha) (2)) (1 + tg ^ (2) \ frac (\ alpha) (2)),` `\ alpha \ ne \ pi +2 \ pi n, n \ dans Z`
`cos \ \ alpha = \ frac (1 - tg ^ (2) \ frac (\ alpha) (2)) (1 + tg ^ (2) \ frac (\ alpha) (2)),` `\ alpha \ ne \ pi +2 \ pi n, n \ dans Z`
`tg \ \ alpha = \ frac (2tg \ frac (\ alpha) (2)) (1 - tg ^ (2) \ frac (\ alpha) (2)),` `\ alpha \ ne \ pi +2 \ pi n, n \ in Z, `` \ alpha \ ne \ frac (\ pi) (2) + \ pi n, n \ in Z`
`ctg \ \ alpha = \ frac (1 - tg ^ (2) \ frac (\ alpha) (2)) (2tg \ frac (\ alpha) (2)),` `\ alpha \ ne \ pi n, n \ in Z, `` \ alpha \ ne \ pi + 2 \ pi n, n \ in Z`
Formules de coulée
Les formules de coulée peuvent être obtenues en utilisant des propriétés des fonctions trigonométriques telles que la périodicité, la symétrie, la propriété de se déplacer d'un angle donné. Ils permettent de convertir des fonctions d'un angle arbitraire en fonctions avec un angle compris entre 0 et 90 degrés.
Pour l'angle (`\ frac (\ pi) 2 \ pm \ alpha`) ou (` 90 ^ \ circ \ pm \ alpha`) :
`sin (\ frac (\ pi) 2 - \ alpha) = cos \ \ alpha;` `sin (\ frac (\ pi) 2 + \ alpha) = cos \ \ alpha`
`cos (\ frac (\ pi) 2 - \ alpha) = sin \ \ alpha;` ` cos (\ frac (\ pi) 2 + \ alpha) = - sin \ \ alpha`
`tg (\ frac (\ pi) 2 - \ alpha) = ctg \ \ alpha;` ` tg (\ frac (\ pi) 2 + \ alpha) = - ctg \ \ alpha`
`ctg (\ frac (\ pi) 2 - \ alpha) = tg \ \ alpha;` `ctg (\ frac (\ pi) 2 + \ alpha) = - tg \ \ alpha`
Pour l'angle (`\ pi \ pm \ alpha`) ou (` 180 ^ \ circ \ pm \ alpha`) :
`sin (\ pi - \ alpha) = sin \ \ alpha;` `sin (\ pi + \ alpha) = - sin \ \ alpha`
`cos (\ pi - \ alpha) = - cos \ \ alpha;` `cos (\ pi + \ alpha) = - cos \ \ alpha`
`tg (\ pi - \ alpha) = - tg \ \ alpha;` `tg (\ pi + \ alpha) = tg \ \ alpha`
`ctg (\ pi - \ alpha) = - ctg \ \ alpha;` `ctg (\ pi + \ alpha) = ctg \ \ alpha`
Pour l'angle (`\ frac (3 \ pi) 2 \ pm \ alpha`) ou (` 270 ^ \ circ \ pm \ alpha`) :
`sin (\ frac (3 \ pi) 2 - \ alpha) = - cos \ \ alpha;` `sin (\ frac (3 \ pi) 2 + \ alpha) = - cos \ \ alpha`
`cos (\ frac (3 \ pi) 2 - \ alpha) = - sin \ \ alpha;` ` cos (\ frac (3 \ pi) 2 + \ alpha) = sin \ \ alpha`
`tg (\ frac (3 \ pi) 2 - \ alpha) = ctg \ \ alpha;` ` tg (\ frac (3 \ pi) 2 + \ alpha) = - ctg \ \ alpha`
`ctg (\ frac (3 \ pi) 2 - \ alpha) = tg \ \ alpha;` `ctg (\ frac (3 \ pi) 2 + \ alpha) = - tg \ \ alpha`
Pour l'angle (`2 \ pi \ pm \ alpha`) ou (` 360 ^ \ circ \ pm \ alpha`) :
`sin (2 \ pi - \ alpha) = - sin \ \ alpha;` `sin (2 \ pi + \ alpha) = sin \ \ alpha`
`cos (2 \ pi - \ alpha) = cos \ \ alpha;` `cos (2 \ pi + \ alpha) = cos \ \ alpha`
`tg (2 \ pi - \ alpha) = - tg \ \ alpha;` `tg (2 \ pi + \ alpha) = tg \ \ alpha`
`ctg (2 \ pi - \ alpha) = - ctg \ \ alpha;` `ctg (2 \ pi + \ alpha) = ctg \ \ alpha`
Expression de certaines fonctions trigonométriques en fonction d'autres
`sin \ \ alpha = \ pm \ sqrt (1-cos ^ 2 \ alpha) =` `\ frac (tg \ \ alpha) (\ pm \ sqrt (1 + tg ^ 2 \ alpha)) = \ frac 1 ( \ pm \ sqrt (1 + ctg ^ 2 \ alpha)) `
`cos \ \ alpha = \ pm \ sqrt (1-sin ^ 2 \ alpha) =` `\ frac 1 (\ pm \ sqrt (1 + tg ^ 2 \ alpha)) = \ frac (ctg \ \ alpha) ( \ pm \ sqrt (1 + ctg ^ 2 \ alpha)) `
`tg \ \ alpha = \ frac (sin \ \ alpha) (\ pm \ sqrt (1-sin ^ 2 \ alpha)) =` `\ frac (\ pm \ sqrt (1-cos ^ 2 \ alpha)) ( cos \ \ alpha) = \ frac 1 (ctg \ \ alpha) `
`ctg \ \ alpha = \ frac (\ pm \ sqrt (1-sin ^ 2 \ alpha)) (sin \ \ alpha) =` `\ frac (cos \ \ alpha) (\ pm \ sqrt (1-cos ^ 2 \ alpha)) = \ frac 1 (tg \ \ alpha) `
La trigonométrie se traduit littéralement par "mesurer des triangles". Elle commence à étudier à l'école et continue plus en détail dans les universités. Par conséquent, les formules de base pour la trigonométrie sont nécessaires, à partir de la 10e année, ainsi que pour réussir l'examen. Ils désignent des connexions entre les fonctions, et comme il existe un grand nombre de ces connexions, il existe de nombreuses formules elles-mêmes. Se souvenir de tous n'est pas facile, et ce n'est pas nécessaire - si nécessaire, vous pouvez tous les afficher.
Les formules trigonométriques sont utilisées dans le calcul intégral, ainsi que dans les simplifications trigonométriques, les calculs, les transformations.
Les valeurs sinusoïdales sont incluses dans l'intervalle [-1 ; 1], c'est-à-dire -1 ≤ sin α ≤ 1. Par conséquent, si |a | > 1, alors l'équation sin x = a n'a pas de racine. Par exemple, l'équation sin x = 2 n'a pas de racines.
Passons à quelques tâches.
Résoudre l'équation sin x = 1/2.
Solution.
Notez que sin x est l'ordonnée d'un point sur le cercle unité, qui est obtenu en faisant pivoter le point P (1; 0) d'un angle x autour de l'origine.
L'ordonnée égale à ½ est présente en deux points du cercle M 1 et M 2.
Puisque 1/2 = sin / 6, le point M 1 est obtenu à partir du point P (1; 0) en tournant d'un angle x 1 = π / 6, et aussi d'angles x = / 6 + 2πk, où k = +/- 1, +/- 2, ...
Le point M 2 est obtenu à partir du point P (1; 0) à la suite d'une rotation d'un angle x 2 = 5π / 6, ainsi que des angles x = 5π / 6 + 2πk, où k = +/- 1, +/ - 2, ... , c'est-à-dire aux angles х = π - π / 6 + 2πk, où k = +/- 1, +/- 2,….
Ainsi, toutes les racines de l'équation sin x = 1/2 peuvent être trouvées par les formules x = π / 6 + 2πk, x = π - π / 6 + 2πk, où k € Z.
Ces formules peuvent être combinées en une seule : x = (-1) n / 6 + πn, où n € Z (1).
En effet, si n est un nombre pair, c'est-à-dire n = 2k, alors à partir de la formule (1) on obtient х = π / 6 + 2πk, et si n est un nombre impair, c'est-à-dire n = 2k + 1, alors à partir de la formule (1) on obtient х = π - π / 6 + 2πk.
Réponse. х = (-1) n π / 6 + πn, où n € Z.
Résoudre l'équation sin x = -1/2.
Solution.
L'ordonnée -1/2 a deux points du cercle unité M 1 et M 2, où x 1 = -π / 6, x 2 = -5π / 6. Par conséquent, toutes les racines de l'équation sin x = -1/2 peuvent être trouvées par les formules x = -π / 6 + 2πk, x = -5π / 6 + 2πk, k € Z.
Nous pouvons combiner ces formules en une seule : x = (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z (2).
En effet, si n = 2k, alors par la formule (2) on obtient х = -π / 6 + 2πk, et si n = 2k - 1, alors par la formule (2) on trouve х = -5π / 6 + 2πk.
Réponse. x = (-1) n (-π / 6) + n, n € Z.
Ainsi, chacune des équations sin x = 1/2 et sin x = -1/2 a un nombre infini de racines.
Sur l'intervalle -π / 2 ≤ x ≤ π / 2, chacune de ces équations n'a qu'une seule racine :
x 1 = π / 6 est la racine de l'équation sin x = 1/2 et x 1 = -π / 6 est la racine de l'équation sin x = -1/2.
Le nombre π / 6 est appelé l'arc sinus du nombre 1/2 et s'écrit : arcsin 1/2 = π / 6 ; le nombre -π / 6 est appelé l'arc sinus du nombre -1/2 et s'écrit : arcsin (-1/2) = -π / 6.
En général, l'équation sin x = a, où -1 ≤ a ≤ 1, n'a qu'une seule racine dans l'intervalle -π / 2 ≤ x ≤ π / 2. Si a 0, alors la racine est contenue dans l'intervalle ; si un< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.
Ainsi, l'arc sinus du nombre a € [–1; 1] un tel nombre est appelé € [–π / 2 ; π / 2], dont le sinus est égal à a.
arcsin а = α, si sin = а et -π / 2 ≤ π / 2 (3).
Par exemple, arcsin √2 / 2 = π / 4, puisque sin π / 4 = √2 / 2 et - π / 2 π / 4 ≤ π / 2 ;
arcsin (-√3 / 2) = -π / 3, puisque sin (-π / 3) = -√3 / 2 et - π / 2 ≤ 
- / 3 / 2.
De la même manière que cela a été fait pour résoudre les problèmes 1 et 2, on peut montrer que les racines de l'équation sin x = a, où | a | 1, sont exprimés par la formule
= (-1) n arcsin а + in, n € Z (4).
On peut aussi prouver que pour tout a € [-1; 1] la formule arcsin (-a) = -arcsin a est valide.
Il résulte de la formule (4) que les racines de l'équation
sin x = a pour a = 0, a = 1, a = -1 peut être trouvé en utilisant des formules plus simples :
sin = 0 х = πn, n € Z (5)
sin x = 1 x = / 2 + 2πn, n € Z (6)
sin x = -1 x = -π / 2 + 2πn, n € Z (7)
site, avec copie totale ou partielle du matériel, un lien vers la source est requis.
Il existe de nombreuses formules en trigonométrie.
Il est très difficile de les mémoriser mécaniquement, presque impossible. En classe, de nombreux écoliers et étudiants utilisent des imprimés sur les pages de garde des manuels et des cahiers, des affiches sur les murs, des berceaux et enfin. Et l'examen ?
Cependant, si vous regardez de plus près ces formules, vous constaterez qu'elles sont toutes interconnectées et ont une certaine symétrie. Analysons-les, en tenant compte des définitions et propriétés des fonctions trigonométriques, afin de déterminer le minimum qui vaut vraiment la peine d'être appris par cœur.
Groupe I. Identités de base
sin 2 + cos 2 = 1;
tgα = ____ sinα cosα ; ctgα = ____ cosα sinα ;
tgα · ctgα = 1 ;
1 + tg 2 = _____ 1 cos 2 ; 1 + ctg 2 = _____ 1 péché 2 .
Ce groupe contient les formules les plus simples et les plus populaires. La plupart des élèves les connaissent. Mais s'il y a encore des difficultés, alors pour se souvenir des trois premières formules, imaginez mentalement un triangle rectangle avec une hypoténuse égale à un. Alors ses jambes seront égales, respectivement, sinα par définition de sinus (le rapport de la jambe opposée à l'hypoténuse) et cosα par la définition de cosinus (le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse).
La première formule est le théorème de Pythagore pour un tel triangle - la somme des carrés des jambes est égale au carré de l'hypoténuse (1 2 = 1), les deuxième et troisième sont les définitions de la tangente (le rapport de la jambe opposée à la jambe adjacente) et la cotangente (le rapport de la jambe adjacente à la jambe opposée).
Le produit de la tangente et de la cotangente est 1 car la cotangente écrite sous forme de fraction (formule trois) est une tangente inversée (formule deux). Cette dernière considération permet d'ailleurs d'exclure du nombre de formules qui doivent être mémorisées, toutes les formules longues subséquentes avec une cotangente. Si dans une tâche difficile vous rencontrez ctgα, remplacez-le simplement par une fraction ___ 1 tgα et utilisez les formules de la tangente.
Les deux dernières formules n'ont pas besoin d'être mémorisées pré-symboliquement. Ils sont moins fréquents. Et si nécessaire, vous pouvez toujours les réimprimer sur un brouillon. Pour ce faire, il suffit de substituer à la place de la tangente ou de la contangente de leurs définitions par une fraction (formules deuxième et troisième, respectivement) et de ramener l'expression à un dénominateur commun. Mais il est important de se rappeler que de telles formules qui relient les carrés de la tangente et du cosinus, et les carrés de la cotangente et du sinus existent. Sinon, vous ne devinerez peut-être pas quelles transformations sont nécessaires pour résoudre un problème particulier.
Groupe II. Formules d'addition
sin (α + β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ;
sin (α - β) = sinα · cosβ - cosα · sinβ;
cos (α + β) = cosα · cosβ - sinα · sinβ;
cos (α - β) = cosα · cosβ + sinα · sinβ;
tg (α + β) = tgα + tgβ _________ 1 - tgα · tgβ;
tg (α - β) =
Rappelons les propriétés de parité paire/impaire des fonctions trigonométriques :
sin (−α) = - sin (α); cos (−α) = cos (α); tg (−α) = - tg (α).
De toutes les fonctions trigonométriques, seul le cosinus est une fonction paire et ne change pas de signe lorsque le signe de l'argument (angle) change, le reste des fonctions est impair. L'étrangeté de la fonction, en fait, signifie que le signe moins peut être introduit et supprimé en dehors du signe de la fonction. Par conséquent, si vous rencontrez une expression trigonométrique avec la différence de deux angles, vous pouvez toujours la comprendre comme la somme des angles positifs et négatifs.
Par exemple, péché ( X- 30º) = péché ( X+ (−30º)).
Ensuite, nous utilisons la formule de la somme de deux angles et traitons les signes :
péché ( X+ (−30º)) = péché X· Cos (−30º) + cos X Péché (−30º) =
= péché X· Cos30º - cos X· Péché30º.
Ainsi, toutes les formules contenant la différence d'angles peuvent être simplement ignorées lors de la première mémorisation. Ensuite, il vaut la peine d'apprendre à les restaurer sous leur forme générale, d'abord sur un brouillon, puis mentalement.
Par exemple, tan (α - β) = tan (α + (−β)) = tgα + tg (−β) ___________ 1 - tgα · tg (−β) = tgα - tgβ _________ 1 + tgα · tgβ.
Cela aidera à l'avenir à deviner rapidement quelles transformations doivent être appliquées pour résoudre une tâche particulière à partir de la trigonométrie.
Groupe Sh. Formules à plusieurs arguments
sin2α = 2 sinα cosα;
cos2α = cos 2 - sin 2 α ;
tg2α = 2tgα _______ 1 - tg 2 α ;
sin3α = 3sinα - 4sin 3α ;
cos3α = 4cos 3 - 3cosα.
La nécessité d'utiliser des formules pour le sinus et le cosinus d'un angle double se pose très souvent, pour la tangente aussi, assez souvent. Ces formules doivent être connues par cœur. De plus, il n'y a aucune difficulté à les mémoriser. Premièrement, les formules sont courtes. Deuxièmement, ils sont faciles à contrôler selon les formules du groupe précédent, basées sur le fait que 2α = α + α.
Par exemple:
sin (α + β) = sinα · cosβ + cosα · sinβ;
sin (α + α) = sinα · cosα + cosα · sinα;
sin2α = 2sinα cosα.
Cependant, si vous avez appris rapidement ces formules, et non les précédentes, alors vous pouvez faire l'inverse : vous pouvez vous souvenir de la formule de la somme de deux angles en utilisant la formule correspondante pour un angle double.
Par exemple, si vous avez besoin d'une formule pour le cosinus de la somme de deux angles :
1) rappelons la formule du cosinus d'un angle double : cos2 X= cos 2 X- péché 2 X;
2) nous le peignons longtemps : cos ( X + X) = cos X Cos X- péché X Péché X;
3) remplacer un X par , la seconde par β : cos (α + β) = cosα cosβ - sinα sinβ.
Entraînez-vous de la même manière à restituer les formules du sinus de la somme et de la tangente de la somme. Dans les cas critiques, comme, par exemple, l'UTILISATION, vérifiez l'exactitude des formules restituées en utilisant le premier quart connu : 0º, 30º, 45º, 60º, 90º.
Vérification de la formule précédente (obtenue en remplaçant à la ligne 3) :
laisser = 60 °, = 30°, + = 90 °,
ensuite cos (α + β) = cos90 ° = 0, cosα = cos60 ° = 1/2, cosβ = cos30 ° = √3 _
/ 2, sinα = sin60 ° = √3 _
/ 2, sinβ = sin30° = 1/2 ;
on substitue les valeurs dans la formule : 0 = (1/2) √3_
/2) − (√3_
/ 2) (1/2);
0 0, aucune erreur n'a été trouvée.
Les formules pour un triple angle, à mon avis, n'ont pas besoin d'être spécialement "entassées". Ils sont assez rares sur des examens comme l'examen. Ils se déduisent facilement des formules qui ont été ci-dessus, puisque sin3α = sin (2α + α). Et pour les étudiants qui, pour une raison quelconque, ont encore besoin d'apprendre ces formules par cœur, je vous conseille de faire attention à leur certaine "symétrie" et de mémoriser non pas les formules elles-mêmes, mais les règles mnémoniques. Par exemple, l'ordre dans lequel les nombres sont situés dans les deux formules "33433433", etc.
groupe IV. Somme / différence - en produit
sinα + sinβ = 2 sin α + β ____ 2 Cos α - β ____ 2 ;
sinα - sinβ = 2 sin α - β ____ 2 Cos α + β ____ 2 ;
cosα + cosβ = 2cos α + β ____ 2 Cos α - β ____ 2 ;
cosα - cosβ = −2 sin α - β ____ 2 Péché α + β ____ 2 ;
tgα + tgβ = péché (α + β) ________ cosα cosβ ;
tgα - tgβ = péché (α - β) ________ cosα cosβ .
En utilisant les propriétés impaires des fonctions sinus et tangente : sin (−α) = - sin (α); tg (−α) = - tg (α),
il est possible de réduire les formules des différences de deux fonctions à des formules de leurs sommes. Par exemple,
sin90º - sin30º = sin90º + sin (−30º) = 2 · sin 90º + (-30º) __________ 2 Cos 90º - (−30º) __________ 2 =
2 · sin30º · cos60º = 2 · (1/2) · (1/2) = 1/2.
Ainsi, les formules pour la différence des sinus et des tangentes n'ont pas besoin d'être mémorisées tout de suite.
La situation avec la somme et la différence des cosinus est plus compliquée. Ces formules ne sont pas interchangeables. Mais encore une fois, en utilisant la parité du cosinus, vous pouvez vous rappeler les règles suivantes.
La somme cosα + cosβ ne peut pas changer de signe pour tout changement dans le signe des angles, donc le produit doit également être constitué de fonctions paires, c'est-à-dire deux cosinus.
Le signe de la différence cosα - cosβ dépend des valeurs des fonctions elles-mêmes, ce qui signifie que le signe du produit doit dépendre du rapport des angles, donc le produit doit être constitué de fonctions impaires, c'est-à-dire deux sinus.
Et pourtant ce groupe de formules n'est pas des plus faciles à mémoriser. C'est le cas lorsqu'il vaut mieux entasser moins, mais vérifier plus. Afin d'éviter les erreurs dans la formule de l'examen responsable, assurez-vous d'abord de l'écrire sur un brouillon et de la vérifier de deux manières. D'abord par les substitutions β = α et β = −α, puis par les valeurs connues des fonctions pour les angles premiers. Pour cela, il est préférable de prendre 90º et 30º, comme cela a été fait dans l'exemple ci-dessus, car la demi-somme et la demi-différence de ces valeurs donnent à nouveau des angles simples, et vous pouvez facilement voir comment l'égalité devient une identité pour la bonne option. Ou, au contraire, il n'est pas exécuté si vous vous êtes trompé.
Exemple vérifier la formule cosα - cosβ = 2 sin α - β ____ 2 Péché α + β ____ 2 pour la différence des cosinus avec une erreur !
1) Soit β = α, alors cosα - cosα = 2 sin - α _____ 2 Péché α + α _____ 2= 2sin0 sinα = 0 sinα = 0. cosα - cosα ≡ 0.
2) Soit β = - α, alors cosα - cos (- α) = 2 sin - (−α) _______ 2 Péché + (−α) _______ 2= 2sinα sin0 = 0 sinα = 0. cosα - cos (- α) = cosα - cosα ≡ 0.
Ces vérifications ont montré que les fonctions de la formule étaient utilisées correctement, mais du fait que l'identité s'est avérée être de la forme 0 0, une erreur de signe ou de coefficient pouvait passer inaperçue. Nous effectuons le troisième contrôle.
3) Soit α = 90º, β = 30º, alors cos90º - cos30º = 2 · sin 90º - 30º ________ 2 Péché 90º + 30º ________ 2= 2sin30º · sin60º = 2 · (1/2) · (√3 _ /2) = √3_ /2.
cos90 - cos30 = 0 - 3 _ /2 = −√3_ /2 ≠ √3_ /2.
L'erreur était vraiment dans le signe et seulement dans le signe avant le travail.
Groupe V. Produit - en somme / différence
sinα · sinβ = 1 _ 2 (Cos (α - β) - cos (α + β));
cosα cosβ = 1 _ 2 (Cos (α - β) + cos (α + β));
sinα cosβ = 1 _ 2 (Péché (α - β) + péché (α + β)).
Le nom même du cinquième groupe de formules suggère que ces formules sont l'inverse du groupe précédent. Il est clair que dans ce cas il est plus facile de restituer la formule sur un brouillon que de la réapprendre, augmentant le risque de se créer un « désordre dans la tête ». La seule chose sur laquelle il est logique de se concentrer pour une récupération plus rapide de la formule sont les égalités suivantes (vérifiez-les) :
α = α + β ____ 2 + α - β ____ 2; β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2.
Envisager Exemple: besoin de transformer le produit sin5 X Cos3 X en la somme de deux fonctions trigonométriques.
Puisque le produit comprend à la fois le sinus et le cosinus, nous prenons du groupe précédent la formule de la somme des sinus, que nous avons déjà apprise, et l'écrivons sur un brouillon.
sinα + sinβ = 2 sin α + β ____ 2 Cos α - β ____ 2
Soit 5 X = α + β ____ 2 et 3 X = α - β ____ 2, alors = α + β ____ 2 + α - β ____ 2 = 5X + 3X = 8X, β = α + β ____ 2 − α - β ____ 2 = 5X − 3X = 2X.
On remplace dans la formule sur le brouillon les valeurs des angles, exprimées en fonction des variables et β, par les valeurs des angles, exprimées en fonction de la variable X.
On a péché8 X+ péché2 X= 2 sin5 X Cos3 X
Divisez les deux parties de l'égalité par 2 et notez-la sur la copie propre de droite à gauche péché5 X Cos3 X = 1 _ 2 (sin8 X+ péché2 X). La réponse est prête.
A titre d'exercice : Expliquez pourquoi dans le manuel il n'y a que 3 formules pour convertir la somme / différence en produit de 6, et l'inverse (pour convertir le produit en somme ou différence) - seulement 3 ?Groupe VI. Formules de réduction de degré
cos 2 = 1 + cos2α _________ 2;
sin 2 = 1 - cos2α _________ 2;
cos 3 = 3cosα + cos3α ____________ 4;
sin 3 = 3sinα - sin3α ____________ 4.
Les deux premières formules de ce groupe sont indispensables. Ils sont souvent utilisés lors de la résolution d'équations trigonométriques, y compris le niveau d'un examen unifié, ainsi que lors du calcul d'intégrales contenant des fonctions intégrandes de type trigonométrique.
Il peut être plus facile de s'en souvenir dans la prochaine forme « à une histoire ».
2cos 2 = 1 + cos2α ;
2 sin 2 = 1 - cos2α,
et vous pouvez toujours diviser par 2 dans votre tête ou sur un courant d'air.
La nécessité d'utiliser les deux formules suivantes (avec des cubes de fonctions) dans les examens est beaucoup moins courante. Dans un cadre différent, vous aurez toujours le temps d'utiliser le brouillon. Dans ce cas, les options suivantes sont possibles :
1) Si vous vous souvenez des deux dernières formules du groupe III, utilisez-les pour exprimer sin 3 et cos 3 α par de simples transformations.
2) Si dans les deux dernières formules de ce groupe vous remarquez des éléments de symétrie qui contribuent à leur mémorisation, alors notez les "croquis" des formules sur le brouillon et vérifiez-les par les valeurs des angles principaux.
3) Si, en plus du fait que de telles formules pour abaisser le degré existent, vous n'en savez rien, résolvez le problème par étapes, en vous basant sur le fait que sin 3 α = sin 2 α · sinα et autres appris formules. Des formules de réduction de degré pour un carré et une formule pour convertir un produit en somme seront nécessaires.
VIIe groupe. Demi argument
péché _ 2 = ± √ 1 - cosα ________ 2; _____
car _ 2 = ± √ 1 + cosα ________ 2 ; _____
tg _ 2 = ± √ 1 - cosα ________ 1 + cosα. _____
Je ne vois aucun intérêt à mémoriser ce groupe de formules sous la forme sous laquelle elles sont présentées dans les manuels et ouvrages de référence. Si tu comprends ça α est la moitié de 2α, alors cela suffit pour dériver rapidement la formule requise pour le demi-argument, basée sur les deux premières formules pour diminuer le degré.
Ceci s'applique également à la tangente du demi-angle, dont la formule est obtenue en divisant l'expression sinus par l'expression cosinus correspondante.
N'oubliez pas de mettre le signe uniquement lors de l'extraction de la racine carrée ± .
VIIIe groupe. Substitution universelle
sinα = 2tg (α / 2) _________ 1 + tan 2 (α / 2);
cosα = 1 - tan 2 (α / 2) __________ 1 + tan 2 (α / 2);
tgα = 2tg (α / 2) _________ 1 - tg 2 (α / 2).
Ces formules peuvent être extrêmement utiles pour résoudre des problèmes trigonométriques de toutes sortes. Ils permettent de mettre en œuvre le principe "un argument - une fonction", qui vous permet d'apporter des modifications de variables qui réduisent les expressions trigonométriques complexes à des expressions algébriques. Ce n'est pas sans raison que cette substitution est dite universelle.
Nous devons apprendre les deux premières formules. Le troisième peut être obtenu en divisant les deux premiers l'un par l'autre selon la définition de la tangente tgα = péchéα ___ cosα
Groupe IX. Formules de coulée.
Pour comprendre ce groupe de formules trigonométriques, passezgroupe X. Valeurs pour les angles de base.
Les valeurs des fonctions trigonométriques pour les angles principaux du premier quart sont donnéesAlors on fait conclusion: Les formules de trigonométrie doivent savoir. Le plus gros le meilleur. Mais à quoi consacrer votre temps et vos efforts - mémoriser des formules ou les récupérer dans le processus de résolution de problèmes, chacun doit décider par lui-même.
Un exemple de tâche pour utiliser des formules de trigonométrie
Résous l'équation péché5 X Cos3 X- péché8 X Cos6 X = 0.Nous avons deux fonctions différentes sin() et cos() et quatre ! différents arguments 5 X, 3X, 8X et 6 X... Sans transformations préalables, il ne fonctionnera pas de réduire aux types les plus simples d'équations trigonométriques. Par conséquent, nous essayons d'abord de remplacer les produits par des sommes ou des différences de fonctions.
Nous procédons de la même manière que dans l'exemple ci-dessus (voir section).
péché (5 X + 3X) + péché (5 X − 3X) = 2 sin5 X Cos3 X
péché8 X+ péché2 X= 2 sin5 X Cos3 X
péché (8 X + 6X) + péché (8 X − 6X) = 2 sin8 X Cos6 X
péché14 X+ péché2 X= 2 péché8 X Cos6 X
En exprimant les produits de ces égalités, nous les substituons dans l'équation. On a:
(sin8 X+ péché2 X) / 2 - (sin14 X+ péché2 X)/2 = 0.
Nous multiplions les deux côtés de l'équation par 2, ouvrons les parenthèses et donnons des termes similaires
Péché8 X+ péché2 X- péché14 X- sin2 X = 0;
péché8 X- péché14 X = 0.
L'équation est devenue beaucoup plus simple, mais résous-la comme ce péché8 X= péché14 X, donc 8 X = 14X+ T, où T est la période, est incorrect, puisque nous ne connaissons pas la signification de cette période. Par conséquent, nous utiliserons le fait qu'il y a 0 du côté droit de l'égalité, avec lequel il est facile de comparer les facteurs dans n'importe quelle expression.
Pour étendre le péché8 X- péché14 X par facteurs, il faut passer de la différence au produit. Pour ce faire, vous pouvez utiliser la formule de la différence des sinus, ou encore la formule de la somme des sinus et de l'impair de la fonction sinus (voir l'exemple dans la section).
péché8 X- péché14 X= péché8 X+ péché (−14 X) = 2 péché 8X + (−14X) __________ 2 Cos 8X − (−14X) __________ 2 = péché (−3 X) Cos11 X= −sin3 X Cos11 X.
Donc l'équation sin8 X- péché14 X= 0 équivaut à l'équation sin3 X Cos11 X= 0, ce qui, à son tour, est équivalent à la combinaison des deux équations les plus simples sin3 X= 0 et cos11 X= 0. En résolvant ce dernier, nous obtenons deux séries de réponses
X 1 = m/3, m Z
X 2 = / 22 + π k/11, k Z
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