Pyramide. Pyramide tronquée

Pyramide appelé un polyèdre, l'un des faces dont le polygone ( base ), et tous les autres visages sont des triangles avec un sommet total ( bords latéraux ) (Fig. 15). Pyramide appelée À droite Si sa base est le polygone correct et que le pic de la pyramide est conçu au centre de la base (Fig. 16). Pyramide triangulaire, que toutes les côtes sont égales, appelées tétraèdre .

Bord côté Les pyramides sont appelées le côté de la face latérale qui n'appartient pas à la base Hauteur Les pyramides sont appelées la distance de son sommet dans le plan de base. Toutes les nervures latérales de la pyramide droite sont égales les unes aux autres, toutes les faces latérales sont égales à des triangles égaux. La hauteur de la face latérale de la pyramide droite passée du haut est appelée apophiscian . Section transversale diagonale La section transversale pyramide s'appelle l'avion traversant deux côtes latérales qui n'appartiennent pas à une seule face.

Surface latérale Les pyramides sont appelées la somme de la zone de toutes les visages latérales. Surface La somme de la zone de toutes les visages latérales et des bases est appelée.

Théorèmes

1. Si dans la pyramide, tous les bords latéraux sont égaux au plan de base, le pic de la pyramide est conçu pour le centre du cercle décrit près de la base.

2. Si dans la pyramide, toutes les nervures latérales ont une longueur égale, le haut de la pyramide est conçu pour le centre du cercle décrit près de la base.

3. Si dans la pyramide, toutes les facettes sont planifiées vers le plan de base, le haut de la pyramide est conçu au centre du cercle inscrit dans la base.

Pour calculer le volume de pyramide arbitraire, la formule est vraie:

où V. - le volume;

S osn - zone de base;

H. - Hauteur de la pyramide.

Pour la pyramide droite, la formule fidèle:

où p. - le périmètre de la fondation;

h a. - apophème;

H. - la taille;

S complet

S côté

S osn - zone de base;

V. - le volume de la pyramide droite.

Pyramide tronquée Une partie de la pyramide, conclue entre la base et le plan de fixation, parallèle à la base de la pyramide (figure 17). Pyramide tronquée appropriée Il s'appelle une partie de la pyramide droite, conclue entre la base et le plan de fixation parallèle à la base de la pyramide.

Base Pyramide tronquée - polygones similaires. Bords latéraux - Trapezium. Hauteur La pyramide tronquée est la distance entre ses bases. Diagonale La pyramide tronquée s'appelle un segment reliant ses sommets qui ne mentent pas dans une seule face. Section transversale diagonale Une section transversale d'une pyramide tronquée est un plan traversant deux nervures latérales qui n'appartiennent pas à une seule face.

Pour la pyramide tronquée, les formules sont valides:

(4)

où S. 1 , S. 2 - des terrains de haut et de fond;

S complet - la zone de la surface complète;

S côté - surface latérale;

H. - la taille;

V. - le volume de pyramide tronquée.

Pour la pyramide tronquée correcte, la formule est vraie:

où p. 1 , p. 2 - périmètres des fondations;

h a. - apophème de la pyramide tronquée droite.

Exemple 1. Dans la pyramide triangulaire correcte, l'angle de narbon à la base est de 60º. Trouvez l'angle tangent d'inclinaison de la nervure latérale au plan de base.

Décision. Faire un dessin (Fig. 18).

La pyramide est correcte, ce qui signifie à la base du triangle équilatéral et toutes les faces latérales sont égales à des triangles égaux. L'angle nain à la base est l'angle d'inclinaison de la face latérale de la pyramide au plan de base. L'angle linéaire sera un angle uNE. Entre deux perpendiculaires: et c'est-à-dire Le haut de la pyramide est conçu au centre du triangle (centre du cercle décrit et cercle inscrit dans le triangle. abc). L'angle d'inclinaison du bord latéral (par exemple SB.) Est l'angle entre le bord lui-même et sa projection sur le plan de fondation. Pour la côte SB. Cet angle sera un angle SBD.. Pour trouver des tangents, vous devez connaître les cathètes ALORS. et Ob.. Laisser la longueur de la coupe Bd. égal à 3. mais. Indiquer SUR section Bd. divisé en parties: et de la recherche ALORS.: De la recherche:

Réponse:

Exemple 2. Trouvez le volume de la pyramide quadrangulaire tronquée correcte si les diagonales de ses bases sont égales à cm et cm, et la hauteur est de 4 cm.

Décision. Pour trouver le volume de pyramide tronquée, nous utilisons la formule (4). Pour trouver des zones au sol, il est nécessaire de trouver les côtés des carrés, sachant leurs diagonales. Les côtés de la base sont de 2 cm, respectivement et 8 cm. Ainsi, la surface du sol et la substitution de toutes les données de la formule, calculer le volume de pyramide tronquée:

Réponse: 112 cm 3.

Exemple 3. Trouvez la zone de face latérale de la pyramide tronquée triangulaire correcte, les côtés des bases sont égales à 10 cm et 4 cm et la hauteur de la pyramide 2 cm.

Décision. Faire un dessin (Fig. 19).

La face latérale de cette pyramide est un trapèze d'équilibre. Pour calculer la zone du trapèze, il est nécessaire de connaître la base et la hauteur. Les bases sont données par condition, il reste une hauteur inconnue. Nous allons trouver d'où MAIS 1 E. Perpendiculaire du point MAIS 1 sur le plan bas bas, UNE. 1 RÉ. - Perpendiculaire de MAIS 1 sur Ca. MAIS 1 E. \u003d 2 cm, car il s'agit de la hauteur de la pyramide. Trouver De. Nous ferons également le dessin, qui décrit une vue de dessus (Fig. 20). Point SUR - projection des centres des bases supérieures et inférieures. Depuis (voir Fig. 20) et d'autre part d'accord - le rayon inscrit dans la circonférence et Oh. - rayon inscrit dans un cercle:

Mk \u003d de..

Selon le théorème de Pythagoreo de

Côté côté:

Réponse:

Exemple 4. À la base de la pyramide se trouve un trapèze d'équilibre, dont les fondations maiset b. (uNE.> b.). Chaque face latérale se forme avec le plan de la base de l'angle pyramide égal j.. Trouvez la zone de la surface complète de la pyramide.

Décision. Faisons un dessin (Fig. 21). Carré de la surface complète de la pyramide SABCD. égal à la somme de la place et de la place du trapez A B c d..

Nous utilisons l'affirmation selon laquelle si tous les bords des pyramides sont placés dans le plan de base, le sommet est conçu pour le centre inscrit dans la base du cercle. Point SUR - Projection du sommet S. Sur la base de la pyramide. Triangle Gazon. est une projection triangulaire orthogonale CSD. Sur le plan de base. Par le théorème sur une zone de projection orthogonale, nous obtenons:

De même, cela signifie Ainsi, la tâche a été réduite à la recherche de la zone du trapèze Assd.. Montrer un trapèze A B c d.séparément (fig.22). Point SUR - Centre inscrit dans le cercle du cercle.

Depuis dans un trapèze, vous pouvez entrer dans le cercle, puis ou du théorème de Pythagore que nous avons

La possibilité de calculer le volume de chiffres spatiales est importante avec la solution d'un certain nombre de tâches pratiques sur la géométrie. L'une des figures communes est une pyramide. Dans cet article, considérons les pyramides des deux et tronquées.

Pyramide comme chiffre en vrac

Tout le monde connaît les pyramides égyptiennes, de sorte que cela représente bien, quel genre de silhouette sera la parole. Néanmoins, les structures en pierre égyptiennes ne sont qu'un cas privé d'une énorme classe de pyramides.

L'objet géométrique considéré en général est une base polygonale, dont chaque sommet est connecté à un certain point de l'espace qui n'appartient pas au plan de base. Cette définition conduit à une figure composée d'un N-Square et de N triangles.

Toute pyramide se compose de n + 1 faces, de 2 * N bords et de sommets N + 1. Étant donné que la figure en question est un polyèdre parfait, le nombre d'éléments notés est soumis à l'égalité d'Euler:

2 * N \u003d (N + 1) + (N + 1) - 2.

Le polygone, basé sur le nom de la pyramide, par exemple triangulaire, pentagonal et ainsi de suite. Un ensemble de pyramides avec différentes bases est montré sur la photo ci-dessous.

Le point dans lequel n triangles sont combinés, appelés pic de la pyramide. S'il est omis de celui-ci à la base perpendiculaire et qu'il le traversera dans le centre géométrique, une telle figure sera appelée droite. Si cette condition n'est pas effectuée, une pyramide inclinée est inclinée.

Figure directe, dont la base est formée par l'équilatéral (équilibieux) N-carbone, est appelé approprié.

Formule de volume pyramide

Pour calculer le volume de la pyramide, nous utilisons des calculs intégrés. Pour ce faire, nous cassons la figure parallèle à la base par les plans de secuch sur le nombre infini de couches minces. La figure ci-dessous montre la hauteur de pyramide quadrangulaire H et la longueur du côté L, dans laquelle le quadrilatère est marqué d'une couche mince de section.

La zone de chacune de ces couches peut être calculée par la formule:

A (z) \u003d A 0 * (H - Z) 2 / H 2.

Ici, un 0 est la zone de base, Z est la valeur de la coordonnée verticale. On peut voir que si z \u003d 0, la formule donne la valeur A 0.

Pour obtenir une formule de volume pyramide, vous devez calculer l'intégration sur toute la hauteur de la figure, c'est-à-dire:

V \u003d ∫ h 0 (a (z) * dz).

Substituer la dépendance a (z) et calculer la primitive, nous arrivons à l'expression:

V \u003d -a 0 * (h-z) 3 / (3 * h 2) | h 0 \u003d 1/3 * a 0 * h.

Nous avons obtenu la formule de la pyramide. Pour trouver la valeur de V, il suffit de multiplier la hauteur de la figure sur la zone de base, puis le résultat est divisé en trois.

Notez que l'expression résultante est valable pour calculer le volume de la pyramide d'un type arbitraire. C'est-à-dire que cela peut être incliné et sa base est un n-carré arbitraire.

et son volume

La formule totale obtenue au paragraphe ci-dessus peut être clarifiée dans le cas d'une pyramide avec la base droite. La zone d'une telle base est calculée par la formule suivante:

A 0 \u003d N / 4 * L 2 * CTG (PI / N).

Ici, l est la longueur du polygone droit avec n sommets. Le symbole PI est le numéro PI.

En substituant l'expression pour une formule de 0 à la formule générale, nous obtenons le volume de la pyramide correcte:

V n \u003d 1/3 * N / 4 * L 2 * H * CTG (PI / N) \u003d N / 12 * L 2 * H * CTG (PI / N).

Par exemple, pour la pyramide triangulaire, cette formule conduit à l'expression suivante:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * H * CTG (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * H.

Pour la pyramide quadrangulaire correcte, la formule de volume acquiert le formulaire:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * H * CTG (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * H.

Déterminer le volume des pyramides appropriées nécessite une connaissance de leur base et de la hauteur de la figure.

Pyramide tronquée

Supposons que nous prenions une pyramide arbitraire et coupez le côté de la surface latérale contenant le sommet. Le chiffre restant est appelé une pyramide tronquée. Il se compose déjà de deux bases de N-charbon et de n marchettes qui sont connectées. Si le plan sécant était parallèle à la base de la figure, une pyramide tronquée est formée avec des bases similaires parallèles. C'est-à-dire que les longueurs des côtés de l'un d'entre eux peuvent être obtenues, en multipliant la longueur de l'autre sur un coefficient k.

Le dessin ci-dessus montre une correction tronquée que la base supérieure est également la même que celle inférieure, formée par le bon hexagone.

La formule pouvant être affichée en utilisant des calculs intégrés similaires, a la forme:

V \u003d 1/3 * h * (A 0 + A 1 + √ (A 0 * A 1)).

Où un 0 et un 1 est la zone des bases inférieures (grandes) et supérieures (petites), respectivement. La variable H est désignée par la hauteur de la pyramide tronquée.

Le volume de la pyramide des hups

Il est curieux de résoudre la tâche de déterminer le volume qui contient en soi la plus grande pyramide égyptienne.

En 1984, les égyptologues britanniques Mark Lehner et John Gudman (Jon Goodman) ont établi les dimensions exactes de la pyramide de Hoeop. Sa hauteur initiale était de 146,50 mètres (actuellement d'environ 137 mètres). La longueur moyenne de chacun des quatre côtés de la structure était de 23,363 mètres. La base de la pyramide avec une haute précision est carrée.

Nous utilisons les numéros filtrés pour déterminer le volume de ce géant en pierre. Comme la pyramide est la quadrangulaire droite, la formule est valide pour cela:

Nous remplacons les chiffres, obtenez-nous:

V 4 \u003d 1/3 * (230.363) 2 * 146.5 ≈ 2591444 m 3.

Le volume de la peyramide des Cheops est égal à près de 2,6 millions de m 3. À titre de comparaison, nous notons que la piscine olympique a un volume de 2,5 mille m 3. C'est-à-dire que cela prendra plus de 1000 piscines de ce type pour remplir la pyramide entière!

- Il s'agit d'un polyèdre, qui est formé par la base de la pyramide et la section transversale en parallèle. On peut dire que la pyramide tronquée est une pyramide avec une pointe coupée. Ce chiffre a de nombreuses propriétés uniques:

• Les faces latérales des pyramides sont des trapèques;
• Bords latéraux de la pyramide tronquée correcte de la même longueur et inclinée à la base au même angle;
• Les bases sont des polygones similaires;
• Dans la pyramide tronquée correcte, les faces sont les mêmes trapèze inaccessibles, dont la surface est égale. Ils sont également inclinés vers la base dans un coin.

La formule de la surface latérale d'une pyramide tronquée est la somme des zones de ses côtés:

Étant donné que les côtés de la pyramide tronquée sont des épaules, alors calculer les paramètres devra utiliser la formule trapèze carré. Pour la pyramide tronquée correcte, vous pouvez appliquer une autre formule pour calculer la zone. Étant donné que tous ses côtés, les visages et les angles de la base sont égaux, vous pouvez appliquer les périmètres de la base et de l'apophe, ainsi que de dériver la zone à travers l'angle à la base.

Si, selon les conditions de la pyramide tronquée correcte, l'apophe (la hauteur du côté) et la longueur du côté de la base sont indiquées, il est alors possible de calculer la zone à travers la semi-produisant la quantité des périmètres de Les bases et l'apophème:

Considérons un exemple de calcul de la zone de la surface latérale d'une pyramide tronquée.
Dana est la bonne pyramide pentagonale. Apothème l. \u003d 5 cm, la longueur du visage dans la grande base est égale uNE. \u003d 6 cm et un visage dans une base plus petite b. \u003d 4 cm. Calculez la zone d'une pyramide tronquée.

Pour commencer, nous trouverons les périmètres des motifs. Comme nous recevons une pyramide pentagonale, nous comprenons que les fondations sont des pentagones. Ainsi, aux bases, il y a une figure avec cinq partis identiques. Nous trouvons un périmètre d'une base plus grande:

De la même manière, nous trouvons un périmètre d'une base plus petite:

Maintenant, nous pouvons calculer la zone de la pyramide tronquée droite. Nous substituons les données de la formule:

Ainsi, nous avons calculé la zone de la pyramide tronquée droite à travers des périmètres et des apophèmes.

Une autre façon de calculer la surface latérale de la pyramide droite est une formule À travers les coins à la base et la zone de ces fondations mêmes.

Regardons l'exemple de calcul. Nous nous rappelons que cette formule n'est appliquée que pour la pyramide tronquée correcte.

Laissez la pyramide quadrangulaire correcte être donnée. La face de la base inférieure est de \u003d 6 cm et la face supérieure B \u003d 4 cm. L'angle à deux montés à la base β \u003d 60 °. Trouvez la surface latérale de la pyramide tronquée correcte.

Pour commencer, nous calculons la zone de base. Étant donné que la pyramide est correcte, les terrains sont égaux les uns aux autres. Considérant qu'à la base, il y a un quadrilatère, nous comprenons qu'il sera nécessaire de calculer zone carrée. C'est un produit d'une largeur de longueur, mais dans la place, ces valeurs coïncident. Nous trouverons la zone de la base plus grande:


Maintenant, nous utilisons les valeurs trouvées pour calculer la surface latérale.

Connaissant quelques formules simples, nous avons facilement calculé le trancheur du trapèze latéral d'une pyramide tronquée à travers diverses valeurs.

Un polyèdre, qui a une des faces est un polygone, et toutes les autres faces sont des triangles avec un sommet commun, appelé pyramide.

Ces triangles, dont la pyramide est composée, s'appelle bords latérauxet le polygone restant - base Pyramides.

À la base de la pyramide se trouve une figure géométrique - n-carré. Dans ce cas, la pyramide est encore appelée n-charbon.

La pyramide triangulaire, toutes les côtes sont égales, appelées tétraredrome.

Les côtes des pyramides qui n'appartiennent pas au sol sont appelées côtéet leur point commun est sommet Pyramides. D'autres pyramides de nervures sont généralement appelées parties à la base.

Pyramide appelée À droiteS'il a le bon polygone à la base et que toutes les nervures latérales sont égales les unes aux autres.

La distance entre le haut de la pyramide et le plan de fondation s'appelle hauteur Pyramides. On peut dire que la hauteur de la pyramide est un segment, une base perpendiculaire, dont les extrémités sont dans le haut de la pyramide et sur le plan de base.

Pour toute pyramide, les formules suivantes ont lieu:

1) S Full \u003d S Side + S Terreoù

S complet - la zone de toute la surface de la pyramide;

S Side - Surface latérale, c'est-à-dire La somme des zones de toutes les visages latérales de la pyramide;

S OSN - La zone de base de la pyramide.

2) V \u003d 1/3 s osnoù

V est le volume de la pyramide;

H est la hauteur de la pyramide.

Pour pyramide appropriée se déroule:

SOIR \u003d 1/2 P OSN Hoù

P est le périmètre de la base de la pyramide;

h est la longueur de l'aponemée, c'est-à-dire la longueur de la hauteur du bord latéral, abaissée du haut de la pyramide.

Une partie de la pyramide conclue entre les deux plans - le plan de base et le plan de fixation, effectué en parallèle avec la base, sont appelés pyramide tronquée.

La base de la pyramide et la section transversale de la pyramide parallèle à l'avion est appelée bassins pyramide tronquée. Les autres sont appelés côté. La distance entre les plans de base sont appelées hauteur pyramide tronquée. Les côtes qui n'appartiennent pas aux terrains sont appelées côté.

De plus, les bases d'une pyramide tronquée n-carrés similaires. Si les bases de la pyramide tronquée sont les polygones appropriés et que toutes les nervures latérales sont égales à l'autre, une telle pyramide tronquée est appelée. À droite.

Pour pyramide tronquée arbitraire Les formules suivantes ont lieu:

1) S Full \u003d S Side + S 1 + S 2où

S complet - surface complète;

S Side - Surface latérale, c'est-à-dire La somme des zones de toutes les faces latérales d'une pyramide tronquée, qui sont trapéziques;

S 1, S 2 - Zone de base;

2) V \u003d 1/3 (S 1 + S 2 + √ (S 1 · S 2)) Hoù

V est le volume de pyramide tronquée;

H est la hauteur d'une pyramide tronquée.

Pour pyramide tronquée appropriée Nous avons aussi:

SOIR \u003d 1/2 (P 1 + P 2) · H, Où

P 1, p 2 - les périmètres de la base;

h - Apophem (la hauteur du bord latéral, qui est un trapèze).

Considérez plusieurs tâches sur la pyramide tronquée.

Tache 1.

Dans une pyramide tronçée triangulaire avec une hauteur de 10, les côtés de l'une des bases sont égaux à 27, 29 et 52. Déterminez le volume de pyramide tronquée si le périmètre d'une autre base est de 72.

Décision.

Considérez la pyramide tronquée d'ABSA 1 sur 1 C1 décrit sur figure 1.

1. Le volume de pyramide tronquée peut être trouvé par la formule

V \u003d 1/3h · (S 1 + S 2 + √ (S 1 · S 2)), où S 1 - la zone de l'un des motifs peut être trouvée selon la formule de gérone

S \u003d √ (P - A) (p - B) (P-C)),

car La tâche est donnée la longueur des trois côtés du triangle.

Nous avons: p 1 \u003d (27 + 29 + 52) / 2 \u003d 54.

S 1 \u003d √ (54 (54 - 27) (54 - 29) (54 - 52)) \u003d √ (54 · 27 · 25 · 2) \u003d 270.

2. Pyramide tronquée, et donc, il y a des polygones similaires aux bases. Dans notre cas, le triangle ABC est similaire à un triangle A 1 en 1 C 1. De plus, le facteur de ressemblance peut être trouvé comme l'attitude des périmètres des triangles à l'étude et le rapport de leur région sera égal à la place du coefficient de ressemblance. Ainsi, nous avons:

S 1 / S 2 \u003d (P 1) 2 / (P 2) 2 \u003d 108 2/72 2 \u003d 9/4. D'où le S 2 \u003d 4S 1/9 \u003d 4 · 270/9 \u003d 120.

Donc, v \u003d 1/3 · 10 (270 + 120 + √ (270 · 120)) \u003d 1900.

Réponse: 1900.

Tâche 2.

Dans la pyramide tronquée triangulaire, un avion a été effectué parallèlement au bord latéral opposé. Dans quelle attitude a été séparée par le volume de pyramide tronquée, si les bases correspondantes des bases concernent 1: 2?

Décision.

Considérer Absa 1 en 1 C 1 - une pyramide tronquée représentée sur figure. 2.

Étant donné que, dans les bases, les parties se réfèrent à 1: 2, puis les zones de base sont traitées comme 1: 4 (le triangle ABC est similaire à un triangle A 1 sur 1 S 1).

Ensuite, le volume de pyramide tronquée est:

V \u003d 1/3h · (S 1 + S 2 + √ (S 1 · S 2)) \u003d 1 / 3H · (4s 2 + S 2 + 2S 2) \u003d 7/3 · H · S 2, où S 2 - Zone de base supérieure, H est hauteur.

Mais le volume de l'ADEA 1 B 1 C 1 prisme est V 1 \u003d S 2 · H et signifie que

V 2 \u003d V - V 1 \u003d 7/3 · H · S 2 - H · S 2 \u003d 4/3 · H · S 2.

Donc, V 2: V 1 \u003d 3: 4.

Réponse: 3: 4.

Tâche 3.

Les côtés de la base de la pyramide tronquée quadrangulaire correcte sont égaux à 2 et 1, et la hauteur est égale à 3. Après le point d'intersection des diagonales pyramides parallèles aux bases de la pyramide, un plan divisant la pyramide en deux parties a été effectuée. Trouvez le volume de chacun d'eux.

Décision.

Considérons la pyramide tronquée de l'AVDA 1 en 1 C 1 D 1, représentée sur figure. 3.

Note par 1 o 2 \u003d x, puis OO₂ \u003d O 1 O - O 1 O 2 \u003d 3 - x.

Considérons un triangle en 1 o 2 D 1 et un triangle de 2 D:

l'angle de 1 o 2 d 1 est égal au coin de 2 D comme vertical;

l'angle de CDO 2 est égal à l'angle D 1 B 1 O 2 et l'angle O 2 CD est égal à l'angle B 1 D 1 O 2 comme embrayage sous le B 1 D 1 || BD et Secant B₁D et BD₁₁, respectivement.

Par conséquent, le triangle en 1 o 2 d 1 est similaire au triangle de 2 d et il y a un rapport entre les parties:

B1D 1 / CD \u003d O 1 O 2 / OO 2 ou 1/2 \u003d x / (x - 3), où x \u003d 1.

Considérons un triangle dans 1 D 1 V et un triangle LO 2 B: l'angle du général, ainsi que la paire de coins unilatéraux à B 1 D 1 || LM, ce qui signifie qu'un triangle en 1 d 1 en est similaire au triangle lo 2 b, d'où en 1 d: lo 2 \u003d oo 1: oo 2 \u003d 3: 2, c'est-à-dire

LO 2 \u003d 2/3 · B 1 D 1, ln \u003d 4/3 · B 1 D 1.

Puis S KLMN \u003d 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 \u003d 16/9.

Donc, V 1 \u003d 1/3 · 2 (4 + 16/9 + 8/3) \u003d 152/27.

V 2 \u003d 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) \u003d 37/27.

Réponse: 152/27; 37/27.

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