Теоремы,устанавливающие связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости. Теорема 2:Если две прямые перпендикулярны к плоскости,то они параллельны между собой. Терема 1:Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости,то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Слайд 8 из презентации «Условие перпендикулярности прямой и плоскости» . Размер архива с презентацией 415 КБ.

Геометрия 10 класс

краткое содержание других презентаций

«Примеры симметрии в природе» - Симметрия в геологии. Симметрия цилиндра. Симметрия в биологии. Виды симметрии. Симметрия в географии. Примеры симметричного распределения. Симметрия в природе. Что такое симметрия. Дискретная симметрия. Человек, многие животные и растения обладают двусторонней симметрией. Природные объекты. Симметрия является фундаментальным свойством природы. Симметрия внешней формы кристалла. Симметрия в физике.

«Задачи на построение сечений» - Тетраэдр. Середины ребер. Точки. Точка. Построение сечений. Сечение параллелепипеда. Уровень. Меню. Сечение параллелепипеда плоскостью. Площадь сечения. Постройте сечение тетраэдра. Найдите точку пересечения прямой. Сечение куба. Куб. Сечение тетраэдра. Данные точки. Многогранник. Искомое сечение. Середины. Постройте сечение куба плоскостью.

«Следствия из аксиом стереометрии» - Постройте изображение куба. Диктант. Самостоятельная работа. Сформулируйте теорему. Найдите прямую пересечения плоскостей. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия. Слайды по геометрии. Ответ объясните. Различные плоскости. Сколько граней проходит через одну,две,три,четыре точки. Существование плоскости. Пересечение прямой с плоскостью. Назовите линию пересечения этих плоскостей. Прямые,пересекающиеся в точке.

«Симметрия в окружающем мире» - Большинство простых молекул обладает элементами пространственной симметрии. Геометрия в цветах. Пифагор. Симметрия в математике. Цветок жизни. Радиальная симметрия. Платоновые тела. Симметрия в живой природе. Древние греки. Симметрия в химии. Сакральная геометрия. Актиноморфная симметрия. Биообъекты с совершенной точечной симметрией. Переносы. Симметрия вокруг нас. Симметрия.

«Основные аксиомы стереометрии» - Древняя китайская пословица. Геометрические тела. Предмет стереометрии. Геометрия. Четыре равносторонних треугольника. Следствия из аксиом. Пирамида Хеопса. Точки прямой лежат в плоскости. Основные фигуры в пространстве. Плоскость. Первые уроки стереометрии. Следствия из аксиом стереометрии. Аксиома. Плоскости имеют общую точку. Источники и ссылки. Изображения пространственных фигур. Аксиомы стереометрии.

«Параллелепипед» - В параллелепипед можно вписать тетраэдр. Вывод формулы объёма прямоугольного параллелепипеда. Отрезок, соединяющий две вершины. У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны. Произвольный параллелепипед. Так параллелепипед выглядит в развертке. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда. Прямоугольный параллелепипед. «Зальцбургский параллелепипед». Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.

Äанный параграф посвящен установлению связей между параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей, широко применяемых в геометрии и ее приложениях.

О существовании связей между параллельностью и

Перпендикулярностью в пространстве свидетельствует наш опыт. Действительно, столбы, установленные вертикально, параллельны между собой (рис. 394); параллельны вертикально направленные ледовые сосульки (рис. 395), вертикаль-

ные колонны, украшающие сооружения (рис. 396), и т. п.

Хорошо известно содержание аналогичных связей в планиметрии: два перпендикуляра к одной прямой параллельны между собой, и наоборот, прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и второй. Однако для прямых в пространстве эти утверждения не всегда выполняются (попробуйте сами привести соответствующие примеры). Вместе с тем можно изучать ситуации, связанные с параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей в пространстве.

Рассмотрим детальнее связь между параллельностью прямых и перпендикулярностью их плоскости. Эти связи отражают отношения между реальными объектами, которыми мы пользу-

	Перпендикулярность прямых и плоскостей
	емся в повседневной жизни. Действительно,
	если одна доска забора расположена верти-
	кально, то вторую доску достаточно располо-
	жить параллельно первой, чтобы она также
	была вертикальной (рис. 397). Этот способ
	построения забора основывается на следую-
	щей теореме.

Теорема 1 (о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости).

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна этой плоскости.

Приведенная теорема является признаком перпендикулярнос- ти прямой и плоскости, то есть с ее помощью устанавливают пер- пендикулярность прямой и плоскости. Её широко используют не только в геометрии, но и в практической деятельности. Сооружение стен здания с

использованием отвеса является яркой ил- люстрацией применения этого признака перпендикулярности прямой и плоскости. Действительно, нить отвеса расположена вертикально, и если кромка сооружения параллельна нити, то она также верти- кальна (рис. 398).

Рассмотрение теоремы 1 естественно порождает вопрос: будут ли параллельны две прямые, перпендикулярные одной плоскос- ти? Ответ на него нам подсказывает опыт (два вертикально уста- новленных столба - параллельны!), и он подтверждается следу- ющей теоремой, обратной теореме 1.

Теорема 2 (о параллельности прямых, перпендикулярных плоскости).

Еслидве прямые перпендикулярны однойитойжеплоскости, то они параллельны.

Приведенная теорема также является признаком. С её помо- щью устанавливают параллельность прямых в пространственных конструкциях. Ведь вертикальность или перпендикулярность

Связьмеждупараллельностьюиперпендикулярностьюпрямыхиплоскостей 391

плоскости иногда более легко проверить (особенно на громоздких объектах), чем параллельность. Речь идет, например, о располо- жении поперечных балок при сооружении потолка здания, рас- познавании параллельности прямых в геометрических конфигу- рациях и др.

Не менее важными в геометрии и ее приложениях являются связи между параллельностью плоскостей и их перпендикуляр- ностью прямой. Речь идёт о двух плоскостях и одной прямой. Если две плоскости параллельны и одна из них перпендикулярна прямой, то как будет расположена вторая плоскость по отноше- нию к этой прямой? Как расположены две плоскости, если они обе перпендикуляр-

ны прямой? Ответы на эти вопросы также нам подсказывает опыт практической деятельности. Если вбить гвоздь в доску перпендикулярно одной стороне доски, то он будет перпендикулярен и противопо- ложной (рис. 399). Если на ось колесной пары насадить колеса с обеих сторон так, чтобы их плоскости были перпендикуляр- ными оси, то плоскости этих колес будут параллельны (рис. 400).

Сформулируем два взаимно обратных утверждения, отражаю- щие связь между параллельностью плоскостей и их перпендику- лярностью прямой.

Теорема 3 (о параллельных плоскостях, одна из которых пер- пендикулярна прямой).

Если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна прямой, то и вторая плоскость перпендикулярна этой же прямой.

Теорема 4 (о двух плоскостях, перпендикулярных прямой).

Если две плоскости перпендикулярны одной прямой, то они параллельны.

Привлекает внимание родство приведенных двух пар теорем. Каждую из них можно сформулировать, заменив термин «пря- мая» на «плоскость», и наоборот.

Теоремы 3 и 4 также являются признаками.

392 Перпендикулярность прямых и плоскостей

Признак перпендикулярности прямой и плоскости (теорема 3) иллюстрируется рас- положением опорных колонн относительно пола и потолка. Если плоскости потолка и пола параллельны, то колонну достаточ- но поставить перпендикулярно полу, что-

бы она была перпендикулярна и потолку

Практическую ценность признака, выраженного в теореме 4, иллюстрирует транспортировка железобетонной пря- моугольной плиты в горизонтальном по- ложении с помощью крана. Для этого ис-

пользуют четыре одинаковых троса, концы которых закреплены в точках А 1 , А 2 , А 3 , А 4

плиты и с крюком в точке S (рис. 402). По­

скольку плита висит свободно, то трос, на котором закреплен крюк, перпендикулярен поверхности земли и расположен на прямой, проходящей через центр масс плиты (для однородной плиты). Если пренебречь толщиной плиты, то ее центр находится на пересечении диагоналей прямоугольника А 1 А 2 А 3 А 4 . Поскольку SA 1 = SA 2 = SA 3 = = SA 4 , то прямая, соединяющая точку S с точкой пересечения диаго- налей, перпендикулярна плоскости плиты (задача 1 §18). Поэтому, согласно теореме 4, плита расположена горизонтально.

Приведенные примеры не исчерпывают всего разнообразия применений рассмотренных признаков при решении практичес- ких задач. Важными являются данные признаки и для последую- щего углубления геометрических знаний.

З а д а ч а 1 . Через данную точку провести прямую, перпенди-
кулярную данной плоскости.
 Случай, когда данная точка А лежит
в данной плоскости α, мы рассматривали в
предыдущем параграфе. Пусть теперь точка
А лежит вне плоскости	α. Через произволь-
ную точку В плоскости	α проведем прямую
b , перпендикулярную плоскости α (рис. 403).
Потом через точку А проведем прямую, па-
раллельную прямой b	(как это сделать?).
Она и будет искомой, поскольку ее перпендикулярность плоскос-
ти α обусловлена теоремой 1. ■

Связьмеждупараллельностьюиперпендикулярностьюпрямыхиплоскостей 393

П р и м е р 1 . Из вершины A квадрата ABCD проведен отрезок AM , перпендикулярный плоскости ABC. Построить:

1) плоскость, проходящую через точку M перпендикулярно пря- мой АС ;

2) прямую, проходящую через середину отрезка MC перпендику- лярно плоскости ABC.

 Изобразим условие примера на рис. 404, а.

1) Рассмотрим плоскость МАС. По условию, прямая МА пер- пендикулярна прямой АС . Для построения искомой плоскости достаточно провести через точку А еще одну прямую, перпенди- кулярную прямой АС . Поскольку прямая BD перпендикулярна прямой АС , то искомая прямая должна быть параллельной пря- мой BD.

Построение. Через точку А проведём прямую АK , параллель- ную прямой BD (рис. 404, б). Она перпендикулярна прямой АС. Плоскость МАK перпендикулярна прямой АС , по признаку пер- пендикулярности прямой и плоскости (теорема 1 § 18).

2) Пусть N - середина отрезка МС (рис. 405, а). Искомая прямая параллельнапрямойМА ,потеоремеопараллельностипрямых,пер- пендикулярных плоскости (теорема 2). Это - необходимое условие.

Оно и достаточно, по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости (теорема 1).

Построение. Через точку N проведём прямую, параллельную прямой МА (рис. 405, б). Точка ее пересечения О с плоскостью квадрата является центром квадрата, поскольку прямая NО ле- жит в плоскости МАС и проходит через середину отрезка АС (по теореме Фалеса). ■

Рассмотрим доказательство приведенных теорем о связях между параллельностью и перпендику- лярностью прямых и плоскостей. Указанная связь между двумя парами теорем и между собой в парах

позволяет надеяться, что доказательство одной из теорем облег- чит доказательство других. Начнем с теоремы 1. Запишем ее в знакосимвольной форме.

Теорема 1. Дано: а 1 || а 2 , а 1 α .

Доказать: а 2 α .

 Для доказательства теоремы воспользуемся признаком пер-

пендикулярности прямой и плоскости.

Обозначим через О 1 точку пересечения прямой а 1 и плоскос- ти α. Согласно теореме о пересечении плоскости параллельными прямыми (теорема 6 § 8), прямая а 2 , параллельная прямой а 1 , также пересекает плоскость α в некоторой точке О 2 (рис. 406, а).

Возьмем на прямых а 1 и а 2 точки А 1 и А 2 по одну сторону от плоскости α так, чтобы отрезки О 1 А 1 и О 2 А 2 были равными. Четы- рехугольник О 1 А 1 А 2 О 2 (рис. 406, б) является параллелограммом, так как О 1 А 1 || О 2 А 2 , О 1 А 1 = О 2 А 2 . Аналогично строим параллело­ грамм О 1 В 1 В 2 О 2 для произвольного направления в плоскости α. Для этого через точки О 1 и О 2 в плоскости α проведем произволь- ные параллельные прямые, на которых выбираем точки В 1 и В 2 аналогично выбору точек А 1 и А 2 (рис. 406, в).

Связьмеждупараллельностьюиперпендикулярностьюпрямыхиплоскостей 395

Из приведенных построений вытекает, что четырехугольник А 1 В 1 В 2 А 2 является параллелограммом. Действительно, отрез- ки А 1 А 2 и В 1 В 2 - параллельны и равны, по свойствам транзи- тивности отношений параллельности прямых и равенства длин

(A 1A 2 || О 1О 2, O 1O 2 || B 1B 2, A 1A 2 = О 1О 2, O 1O 2 = B 1B 2).

А теперь рассмотрим треугольники А 1 О 1 В 1 и А 2 О 2 В 2 . Они равны потрёмсторонам:А 1 О 1 = А 2 О 2 , О 1 В 1 = О 2 В 2 , попостроению,А 1 В 1 = А 2 В 2 как противоположные стороны параллелограмма. Поэтому равны соответствующие углы этих треугольников, в частности, А 1 О 1 В 1 = = А 2 О 2 В 2 . Но угол А 1 О 1 В 1 по условию - прямой. Поэтому прямым будет и угол А 2 О 2 В 2 . А это означает, что прямая а 2 перпендикулярна каждой прямой плоскости α, проходящей через точку О 2 . По опреде- лению, она перпендикулярна плоскости α. ■

Теорема 2. Дано: а 1 α , а 2 α .

Доказать: а 1 || а 2 .

 Пусть прямые а 1 и а 2 перпендикулярны плоскости α, О 1 , О 2 - точки их пересечения с плоскостью α (рис. 407, а). Через точку О 2 проведем прямую b , параллельную прямой а 1 (рис. 407, б). По те- ореме 1, b α. Если прямая b не совпадает с прямой а 2 , то через них можно провести плоскость β, пересекающую плоскость α по прямой с (рис. 407, в). Прямые а 2 и b перпендикулярны прямой с , по определению перпендикулярности прямой и плоскости. Одна- ко в плоскости через данную точку можно провести лишь одну прямую, перпендикулярную данной прямой. Полученное проти- воречие означает, что прямые а 2 и b совпадают, то есть а 1 ||а 2 . ■

Доказательство теорем 3 и 4 проводится по такой же схеме, что и доказательство теорем 1 и 2 соответственно. Сделайте это само- стоятельно, пользуясь указанием, приведенным после формули- ровок теорем 3 и 4.

Важностьрассмотренныхтеоремдлястереометриииееприложе- ний, как уже отмечалось, связана с тем, что каждая из них являет- ся признаком: первая и третья - признаками перпендикулярности прямой и плоскости, вторая - признаком параллельности прямых, четвертая - признаком параллельности плоскостей. Этим самым расширяются наши возможности при изучении взаимного располо- жения прямых и плоскостей, проведении построений.

Обобщением результата задачи 1 является следующая тео- рема.

Теорема 5 (о прямой, перпендикулярной данной плоскости).

Через произвольную точку пространства проходит прямая, перпендикулярная данной плоскости, и к тому же только одна.

 Первая часть теоремы о существовании такой прямой обоснована в решении задачи

1. Для доказательства единственности та- кой прямой допустим противное, а именно:

через некоторую точку А проходят две раз- личные прямые а 1 и а 2 , перпендикулярные плоскости α (рис. 408). По теореме 2, они па- раллельны, то есть не имеют общих точек.

Это противоречие и доказывает утвержде- ние. ■

Аналогичное обобщение имеет и результат задачи 2 предыду- щего параграфа.

Теорема 6 (о плоскости, перпендикулярной данной прямой).

Черезлюбуюточкупространствапроходитплоскость,перпендикулярная данной прямой, и к тому же только одна.

 Существование такой плоскости обос- новано в решении задачи 3 предыдущего параграфа. Осталось доказать единствен- ность плоскости, удовлетворяющей услови- ям теоремы. Как обычно в таких случаях, допустим противное, а именно: через дан-

Связьмеждупараллельностьюиперпендикулярностьюпрямыхиплоскостей 397

ную точку А проходят две различные плоскости α1 и α2 , перпенди- кулярные прямой а (рис. 409). По теореме 4, они параллельны. Но эти плоскости имеют общую точку А . Полученное противоречие и доказывает утверждение. ■

П р и м е р 2 . Из вершины А квадрата АBСD проведена прямая, перпендикулярная плоскости квадрата, и на ней взята точка S . Построить:

1) прямую, проходящую через центр О квадрата перпендику- лярно его плоскости;

2) плоскость, проходящую через середину Р отрезка АS перпен- дикулярно ему;

3) плоскость, проходящую через точку А перпендикулярно пря- мой BD ;

4) прямую, проходящую через точку А перпендикулярно плос- кости SBD.

 1) По условию, прямая AS перпендикулярна плоскости квад- рата. Любая другая прямая, перпендикулярная этой плоскости, будет параллельна прямой AS , по теореме 2, то есть параллель- ность прямой AS является необходимым условием перпендику- лярности искомой прямой плоскости. Она является и достаточ- ным условием, по теореме 1.

Построение. Через точку О прово- дим прямую ОЕ параллельно прямой АS (рис. 410). Прямая ОЕ перпендикулярна плоскости квадрата, по теореме о двух па-

раллельных прямых, одна из которых пер- пендикулярна плоскости.

2)Поусловию,прямаяАS перпендикуляр-

на плоскости АBCD. Любая другая плоскость, перпендикулярная прямой АS , будет параллельной плоскости ABCD , по теореме 4. Параллельность искомой плоскости плоскости ABCD является, по теореме 3, и достаточным условием.

Построение. Проведем через точку Р плоскость, параллельную плоскости ABCD .

Для этого через точку Р проведем прямые

РK и РL , параллельные прямым АD и АВ соответственно (рис. 411). Плоскость РKL

параллельна плоскости АBCD , по призна- ку параллельности плоскостей, а потому

является искомой.

398 Перпендикулярность прямых и плоскостей

3) Диагонали квадрата перпендикулярны, то есть ВО АО (см. рис. 410). Поэтому прямая АО лежит в искомой плоскости. Если через точку О провести еще одну прямую ОЕ, перпендику- лярную ВО , то прямая ВО будет перпендикулярной плоскости АОЕ , по признаку перпендикулярности прямой и плоскости (тео- рема 1 §18). Эта плоскость содержит точку А .

Построение. Проведем через точку О прямую ОЕ, параллельную прямой АS. Она будет перпендикулярной плоскости АBCD (рис. 412). Прямая ОЕ перпендикулярна

прямой ВО , по определению перпендику- лярности прямой и плоскости. Плоскость АОЕ является искомой.

4) Рассмотрим треугольники ABD и SBD

(рис. 413, а). Они равнобедренные, так как

АD = АВ , по условию, а равенство SB = SD вытекает из равенства прямоугольных треугольников ASD и ASB. Их медианы SO и АО являются высотами, а потому прямая BD перпендикулярна плос- кости AOS, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости (теорема 1). В прямоугольном треугольнике AOS из вершины пря- мого угла А проведем высоту АЕ (рис. 413, б). Прямая АЕ является искомой. Действительно, проведем в плоскости SBD через точку Е прямую EF параллельно прямой BD . Эта прямая будет перпен- дикулярной плоскости AOS , по теореме 1. А это означает, что она перпендикулярна прямой AE . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости (теорема 1 § 18), прямая AE перпендикуляр- на плоскости SBD. ■

Связьмеждупараллельностьюиперпендикулярностьюпрямыхиплоскостей 399

9 9 Контрольные вопросы

1. Верно ли, что две прямые, перпендикулярные некоторой плоскости, лежат в одной плоскости?

2. Могут ли два боковых ребра пирамиды быть перпендикуляр - ными плоскости основания пирамиды?

3. Можно ли провести прямую, перпендикулярную двум пересе - кающимся плоскостям?

4. Существует ли взаимосвязь между расположением ножек сто - ла относительно его поверхности и пола, на котором он сто- ит?

5. Существует ли сечение куба плоскостью, перпендикулярной ровно двум его рёбрам?

6. Можно ли провести плоскость, перпендикулярную одновре - менно двум скрещивающимся прямым?

7. Почему ледовые сосульки, свисающие с крыши весной, можно считать параллельными между собой (пренебрегая их толщи - ной)?

8. На потолке закреплен крюк. С помощью канатов необходимо подвесить к нему платформу так, чтобы ее плоскость была го - ризонтальной. Как это сделать?

9. Можно ли через данную точку пространства провести три вза - имно перпендикулярные прямые? А четыре?

10. Сколько различных плоскостей определяют четыре прямые, перпендикулярные одной плоскости?

Графические упражнения

1. На рис. 414			изображен прямоугольный
параллелепипед				ABCDA1 B1 C1 D1 с квад -
ратным основанием ABCD , точки M , N ,
P , Q - середины соответственно рёбер
ВС, В1 С1 , АВ,			D 1 C 1 , точки O, O 1 - центры
граней ABCD			и A 1 B 1 C 1 D 1 . Установите вза-
имное расположение указанных прямой
и плоскости:					ОМ и ADD 1 ;
		и ABC ;
	OC и DBB1 ;					и NQO 1 ;
	B1 С	и BAD 1 ;			A1 C1	и MNQ ;
		и BDD 1 ;			QN и NPM.

400 Перпендикулярность прямых и плоскостей

2. На рис. 415 изображен правильный треугольник ABC, O - его центр, OS -

отрезок, перпендикулярный плоскости треугольника, точки M, N - соответс- твенно середины сторон АВ , ВС. Уста-

новите взаимное расположение: 1) прямой АВ и плоскости SOC ;

2) прямой MN и плоскости SOB ;

3) прямой АС и плоскости MNS .

3. На рис. 416 изображен круг с центром О, АВ и CD - его взаимно перпенди-

кулярные диаметры, МВ - касательная к окружности, OK , BL - равные отрезки,

перпендикулярные плоскости круга. Ус- тановите взаимное расположение:

1) прямой BL и плоскости AOC ;

2) прямой BM и плоскости LOK ;

3) прямой BM и плоскости COK ;

4) прямой KL и плоскости DOK ;

5) плоскостей DOK и MBL ;

6) прямой BK и плоскости CLD.

4. Постройте рисунок по приведенным данным.

1) Плоскость, проходящая через ребро АВ правильного тетра- эдра SABC , перпендикулярна ребру SC.

2) Через точку М , лежащую на диагонали АС правильной че- тырехугольной пирамиды SABCD, проходит плоскость, пер- пендикулярная АС.

407. Из вершины прямого угла С равнобедренного прямоуголь- ного треугольника ABC проведена прямая, перпендикуляр- ная плоскости этого треугольника, и на ней взята точка S . Постройте:

1°) плоскость, проходящую через точку S перпендикулярно прямой AB ;

2°) прямую, проходящую через середину отрезка AS перпен- дикулярно плоскости ABC ;

3°) плоскость, проходящую через точку A параллельно плос- кости BCS ;

Связьмеждупараллельностьюиперпендикулярностьюпрямыхиплоскостей 401

4) прямую, проходящую через точку C перпендикулярно плоскости ABS , если AC = 2 3 CS .

408. ИзсерединыK гипотенузыBC равнобедренногопрямоуголь- ного треугольника ABC проведена прямая, перпендикуляр- ная плоскости этого треугольника, и на ней взята точка M. Постройте:

1°) плоскость, проходящую через точку M перпендикулярно прямой AC ;

2°) прямую, проходящую через середину отрезка AM пер- пендикулярно плоскости ABC ;

3°) плоскость, проходящую через точку A параллельно плос- кости BCM ;

4) плоскость, проходящую через точку K перпендикулярно прямой AM , если MK = CK.

409. Из центра О правильного треугольника АВС проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника, и на ней взята точка S. Постройте:

1°) плоскость, проходящую через точку О перпендикулярно прямой ВС ;

2°) прямую, проходящую через середину отрезка AS перпен- дикулярно плоскости АВС ;

3) плоскость, проходящую через середину отрезка AS пер- пендикулярно прямой OS ;

4*) прямую, проходящую через точку А перпендикулярно плоскости BCS .

410. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Постройте:

1°) прямую, проходящую через центр грани A1 B1 C1 D1 пер - пендикулярно противоположной грани; 2°) плоскость, проходящую через вершину А перпендику - лярно диагонали BD;

3) прямую, проходящую через центр грани АА 1 В 1 В перпен- дикулярно плоскости ВDD 1 ;

4*) плоскость, проходящую через точку D перпендикулярно прямой ВD 1 .

411. В тетраэдре SАBС все грани - правильные треугольники, точка О - центр АВС , D - середина ребра ВС , точка N при- надлежит ребру SА.

1°) Определите взаимное расположение прямой SO и плос- кости АВС.

2°) Определите взаимное расположение прямой ВС и плос- кости ASD.

3) Проведите через точку N прямую, перпендикулярную грани АВС .

4*) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку N перпендикулярно прямой ОS .

412°. Два электрических провода необходимо протянуть от столба высотой 7 м к зданию высотой 4 м. Сколько нужно иметь провода, если расстояние от здания до столба равно 10 м и на провисание провода нужно добавить 3% от его расчетной длины?

413. Сторожевая башня для охраны участка прямоугольной фор- мы установлена в одной из вершин прямоугольника. Рассто- яния от наблюдателя, стоящего на башне, до остальных вер- шин прямоугольника равны а, b, с, причем а > b > с. Чему равняется высота башни?

414. Три параллельные прямые а , b , с не лежат в одной плос- кости. Через точку М , лежащую на прямой а , проведены перпендикуляры к прямым b и с , пересекающие их, соот- ветственно, в точках Р и Q. Докажите, что прямая РQ пер- пендикулярна прямым b и с.

415. Через точку О , находящейся на высоте СD треугольника АBС, проведен перпендикуляр ОМ к его плоскости. Дока- жите, что плоскость, проходящая через прямые СD и ОМ, перпендикулярна прямой АB.

416*. Даны плоскость α и прямая а , пересекающая плоскость в точке М и не перпендикулярная α. Докажите, что в плос- кости α через точку М проходит прямая, перпендикулярная прямой а , и к тому же лишь одна.

417. На прямой, перпендикулярной плоскости α, взяты две точ- ки А и В , не лежащие в плоскости α, а в плоскости α взяты две точки X и Y . Известно, что ХА > ХB . Сравните отрезки

YА и YВ.

Связьмеждупараллельностьюиперпендикулярностьюпрямыхиплоскостей 403

Упражнения для повторения

418. Докажите, что все прямые плоскости, перпендикулярные данной прямой плоскости, образуют эту плоскость.

419. Как разделить отрезок пополам, пользуясь лишь шаблоном: а) прямого угла; б) острого угла?

420. Стороны параллелограмма равны 2 м и 16 дм; расстояние между большими сторонами - 8 дм. Определите расстояние между меньшими сторонами.

Основные утверждения

Теорема о двух	Если одна из двух па-
параллельных	раллельных
прямых, одна из	перпендикулярна
которых перпенди-	плоскости, то и вторая
кулярна плоскости		перпендику-		a || b, a α b α
	лярна этой плоскости.
Теорема о парал-	Если две прямые пер-
лельности прямых,	пендикулярны одной
перпендикулярных	и той же плоскости, то
плоскости	они параллельны.
				a α , b α a || b
Теорема о парал-	Если одна из двух па-
лельных плос-	раллельных		плоскос-
костях, одна из	тей перпендикулярна
которых перпенди-	прямой, то и вторая
кулярна прямой	плоскость	перпенди-
	кулярна этой прямой.			α || β, α l β l
Теорема о двух			плоскости
плоскостях, пер-	перпендикулярны од-
пендикулярных	ной прямой, то они
	параллельны.
				α l , β l α || β

Цели урока:

1) закрепить вопросы теории по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»;

2) выработать навыки решения основных типов задач на перпендикулярность прямой и плоскости.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему и план урока.

II. Актуализация знаний учащихся

1) Теоретический опрос.

Сформулировать и доказать теорему о прямой, перпендикулярной к плоскости (подготовиться у доски одному из учащихся, затем заслушать его ответ всем классом).

2) Индивидуальные письменные задания:

Доказать теорему о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей (1 ученик);

Доказать теорему, устанавливающую связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости (1 ученик);

Доказать теорему, обратную к теореме, устанавливающей связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости (1 ученик);

Доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости (1 ученик).

3) Самостоятельное решение задач по готовым чертежам с последующей проверкой и обсуждением по необходимости.

I уровень: № 1, 2, 5.

II уровень: № 3, 4, 6.

Точка М лежит вне плоскости ABC.

1. Рис. 1. Доказать: прямая АС перпендикулярна плоскости АМВ.

2. Рис. 2. BMDC - прямоугольник. Доказать: прямая CD перпендикулярна плоскости ABC.

3. Рис. 3. ABCD - прямоугольник. Доказать: AD ⊥ АМ.

Решение к задачам 1-6.

4. Рис. 4. Доказать: ВС ⊥ DE.

5. Рис. 5. ABCD - параллелограмм. Доказать: прямая МО перпендикулярна плоскости ABC.

6. Рис. 6. ABCD - ромб. Доказать: прямая BD перпендикулярна плоскости АМС.

Доказательство:

AC ⊥ АВ (по условию), AC ⊥ AM (по условию),

Доказательство:

Так как BMDC - прямоугольник, то ∠MBC = 90°, значит,

MB ⊥ (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

MB || DC (по свойству сторон прямоугольника). Следовательно, DC ⊥ (ABC) (по теореме о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости).

Доказательство:

1) Так как ABCD - прямоугольник, то ∠ABC = 90°, значит, ВС ⊥ АВ, АВ ⊂ (АВМ)

ВС ⊥ (АМВ) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

2) BC || AD (по свойству сторон прямоугольника). Следовательно, AD ⊥ (AMB) (по теореме о связи между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости).

3) AD ⊥ AM (по определению прямой, перпендикулярной плоскости).

№ 4 (рис. 7)

Доказательство: Так как ΔСМВ - равнобедренный (по условию) и MD - высота, то MD - медиана (по свойству высоты равнобедренного треугольника).

Значит, CD = BD (по определению медианы).

1) Так как ΔAВС - равнобедренный (по условию) и AD - медиана (по определению), то AD высота (по свойству медианы равнобедренного треугольника). Значит, ВС ⊥ AD.

2) ВС ⊥ (AMD) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

3) ВС ⊥ DE (по определению прямой, перпендикулярной плоскости).

Доказательство:

1) AC ∩ BD = О; АО = ОС, ВО = OD (по свойству диагоналей параллелограмма).

2) ΔBMD - равнобедренный (по условию) и МО - медиана (по определению), значит, МО - высота (по свойству медианы равнобедренного треугольника).

Следовательно, МО ⊥ BD.

3) В ΔАМС: МО ⊥ АС (доказывается аналогично п. 2).

4) МО ⊥ (AВС) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

№ 6 (рис. 8)

Доказательство: AC ⊥ BD и АО = ОС, ВО = OD (по свойству диагоналей ромба). ΔBMD - равнобедренный (по условию) и МО - медиана (по определению), значит, МО высота (по свойству медианы равнобедренного треугольника).

Следовательно, МО ⊥ BD.

(по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

III. Решение задач

Решение письменно на доске и в тетрадях задачи № 130 (подробное решение в учебнике), № 134 (с помощью учителя), к доске вызвать сильного ученика.

(Прежде чем приступать к решению задачи, повторить понятия: расстояние между двумя точками и расстояние от точки до прямой.Сформулировать определения этих понятий.)

Дано: ABCD - квадрат; MB - прямая (рис. 9).

Найти: а) МА, MD, МС; б) ρ (М; АС), ρ (М; BD).

1) АВ = ВС = CD = AD = n (по свойству сторон квадрата).

2) ΔАВМ и ΔСВМ - прямоугольные, так как ∠MBA = ∠МВС = 90°.

По теореме Пифагора: Получим,

3) Так как BD - диагональ квадрата, то

4) Так как ∠MBA = ∠MBC = 90°, то

MB ⊥ (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Значит, MB ⊥ BD, BD ⊂ (ABC) (по определению прямой, перпендикулярной плоскости).

5) ΔMBD - прямоугольный (т. к. MB ⊥ BD, то ∠MBD = 90°). По теореме Пифагора:

6) ρ (M; BD) = MB (по определению расстояния от точки до прямой). Значит, ρ (М; BD) = m.

7) АО = ОС, ВО = OD (по свойству диагоналей квадрата). Так как то ΔAMC - равнобедренный (по определению) и МО - медиана (по определению), значит, МО - высота (по свойству медианы равнобедренного треугольника, проведенной к его основанию). Следовательно, МО ⊥ АС.

«Перпендикулярные прямые 6 класс» - М. Прямая b проходит через точку М, лежащую на прямой а. Урок 1 6 класс. Перпендикулярные прямые.

«Перпендикулярность» - Определение. 4. Задача 3. Докажите, что треугольник ЕДС прямоугольный и найдите АЕ. Е. Итак, приступим к делу! Теоремы. А. Иллюстрациями каких теорем могли бы быть следующие картинки? 3. Задача 2Слайд 16. 5. Задача 4. С. Признак перпендикулярности прямой и плоскости! Перпендикулярность.Решение задач.

«Перпендикулярность в пространстве» - a. Выполнил: И. В пространстве. Прямой. По условию b || а, а по построению а || МА, поэтому b || МА. Перпендикулярные прямые. Рис. 2. Докажем лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.

«Признак перпендикулярности двух плоскостей» - Ответ: Да. Поскольку прямая a перпендикулярна плоскости?, то угол, образованный a и b, прямой. Плоскость? перпендикулярна плоскости?. Будет ли всякая прямая плоскости? перпендикулярна плоскости?? Упражнение 7. Упражнение 8. Упражнение 4. Плоскость и прямая параллельны. Перпендикулярность плоскостей.

«Перпендикулярность в пространстве геометрия» - a. Муниципальное образовательное учреждение – средняя общеобразовательная школа № 4 г. Черепанова. Задачи: Лемма о перпендикулярности прямых. Цель: Проанализировать различные источники по данной теме. Методы исследования: Выделить основные подходы к рассмотрению перпендикулярности в пространстве. Познакомиться с перпендикулярностью в пространстве.

«Прямая перпендикулярная плоскости» - Линии пересечения стен по отношению к плоскости пола и т.д. Перпендикулярные прямые в пространстве. Непокосившийся телеграфный столб стоит прямо, т.е. перпендикулярно к плоскости земли. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимся. Перпендикулярность прямых и плоскостей. Опр.

Всего в теме 20 презентаций