Прямоугольника?

Решение. Так как 2,88 дм2 = 288 см2, а 0,8 дм = 8 см, то длина прямоугольника равна 288: 8, то есть 36 см = 3,6 дм. Мы нашли такое число 3,6,что 3,6 0,8 = 2,88. Оно является частным от деления 2,88 на 0,8.

Пишут: 2,88: 0,8 = 3,6.

Ответ 3,6 можно получить, не переводя дециметры в сантиметры. Для этого надо умножить делитель 0,8 и делимое 2,88 на 10 (то есть перенести в них запятую на одну цифру вправо) и разделить 28,8 на 8. Снова получим: 28,8: 8 = 3,6.

Чтобы разделить число на десятичную дробь , надо:

1) в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе;
2) после этого выполнить деление на натуральное число.

Пример 1. Разделим 12,096 на 2,24. Перенесем в делимом и делителе запятую на 2 цифры вправо. Получим числа 1209,6 и 224. Так как 1209,6: 224 = 5,4, то и 12,096: 2,24 = 5,4.

Пример 2. Разделим 4,5 на 0,125. Здесь надо перенести в делимом и делителе запятую на 3 цифры вправо. Так как в делимом только одна цифра после запятой, то припишем к нему справа два нуля. После переноса запятой получаем числа 4500 и 125. Так как 4500: 125 = 36, то и 4,5: 0,125 = 36.

Из примеров 1 и 2 видно, что при делении числа на неправильную дробь это число уменьшается или не изменяется, а при делении на правильную десятичную дробь оно увеличивается: 12,096 > 5,4, а 4,5 < 36.

Разделим 2,467 на 0,01. После переноса запятой в делимом и делителе на 2 цифры вправо получаем, что частное равно 246,7: 1, то есть 246,7.

Значит, и 2,467: 0,01 = 246,7. Отсюда получаем правило:

Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001, надо перенести в ней запятую вправо на столько цифр, сколько в делителе стоит нулей перед единицей (то есть умножить ее на 10, 100, 1000).

Если цифр не хватает, надо сначала приписать в конце дроби несколько нулей.

Например, 56,87: 0,0001 = 56,8700: 0,0001 = 568 700.

Сформулируйте правило деления десятичной дроби: на десятичную дробь; на 0,1; 0,01; 0,001.
Умножением на какое число можно заменить деление на 0,01?

1443. Найдите частное и выполните проверку умножением:

а) 0,8: 0,5; б) 3,51: 2,7; в) 14,335: 0,61.

1444. Найдите частное и выполните проверку делением:

а) 0,096: 0,12; б) 0,126: 0,9; в) 42,105: 3,5.

а) 7,56: 0,6; ж) 6,944: 3,2; н) 14,976: 0,72;
б) 0,161: 0,7; з) 0,0456: 3,8; о) 168,392: 5,6;
в) 0,468: 0,09; и) 0,182: 1,3; п) 24,576: 4,8;
г) 0,00261: 0,03; к) 131,67: 5,7; р) 16,51: 1,27;
д) 0,824: 0,8; л) 189,54: 0,78; с) 46,08: 0,384;
е) 10,5: 3,5; м) 636: 0,12; т) 22,256: 20,8.

1446. Запишите выражения:

а) 10 - 2,4x = 3,16; д) 4,2р - р = 5,12;
б) (у + 26,1) 2,3 = 70,84; е) 8,2t - 4,4t = 38,38;
в) (z - 1,2) : 0,6 = 21,1; ж) (10,49 - s) : 4,02 = 0,805;
г) 3,5m + т = 9,9; з) 9k - 8,67k = 0,6699.

1460. В двух цистернах было 119,88 т бензина. В первой цистерне бензина было больше, чем во второй, в 1,7 раза. Сколько бензина было в каждой цистерне?

1461. С трех участков собрали 87,36 т капусты. При этом с первого участка собрали в 1,4 раза больше, а со второго в 1,8 раза больше, чем с третьего участка. Сколько тонн капусты собрали с каждого участка?

1462. Кенгуру ниже жирафа в 2,4 раза, а жираф выше кенгуру на 2,52 м. Какова высота жирафа и какова высота кенгуру?

1463. Два пешехода находились на расстоянии 4,6 км друг от друга. Они пошли навстречу друг другу и встретились через 0,8 ч. Найдите скорость каждого пешехода, если скорость одного из них в 1,3 раза больше скорости другого.

1464. Выполните действия:

а) (130,2 - 30,8) : 2,8 - 21,84:
б) 8,16: (1,32 + 3,48) - 0,345;
в) 3,712: (7 - 3,8) + 1,3 (2,74 + 0,66);
г) (3,4: 1,7 + 0,57: 1,9) 4,9 + 0,0825: 2,75;
д) (4,44: 3,7 - 0,56: 2,8) : 0,25 - 0,8;
е) 10,79: 8,3 0,7 - 0,46 3,15: 6,9.

1465. Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной и найдите значение выражения :

1466. Вычислите устно:

а) 25,5: 5; б) 9 0,2; в) 0,3: 2; г) 6,7 - 2,3;
1,5: 3; 1 0,1; 2:5; 6- 0,02;
4,7: 10; 16 0,01; 17,17: 17; 3,08 + 0,2;
0,48: 4; 24 0,3; 25,5: 25; 2,54 + 0,06;
0,9:100; 0,5 26; 0,8:16; 8,2-2,2.

1467. Найдите произведение:

а) 0,1 0,1; г) 0,4 0,4; ж) 0,7 0,001;
б) 1,3 1,4; д) 0,06 0,8; з) 100 0,09;
в) 0,3 0,4; е) 0,01 100; и) 0,3 0,3 0,3.

1468. Найдите: 0,4 числа 30; 0,5 числа 18; 0,1 числа 6,5; 2,5 числа 40; 0,12 числа 100; 0,01 числа 1000.

1469. Каково значение выражения 5683,25а при а = 10; 0,1; 0,01; 100; 0,001; 1000; 0,00001?

1470. Подумайте, какие из чисел могут быть точными, какие - приближенными:

а) в классе 32 ученика;
б) расстояние от Москвы до Киева 900 км;
в) у параллелепипеда 12 ребер;
г) длина стола 1,3 м;
д) население Москвы 8 млн человек;
е) в пакете 0,5 кг муки;
ж) площадь острова Куба 105 000 км2;
з) в школьной библиотеке 10 000 книг;
и) одна пядь равна 4 вершкам, а вершок равен 4,45 см (вершок
длина фаланги указательного пальца).

1471. Найдите три решения неравенства:

а) 1,2 < х < 1,6; в) 0,001 < х < 0,002;
б) 2,1 < х< 2,3; г) 0,01 <х< 0,011.

1472. Сравните, не вычисляя, значения выражений:

а) 24 0,15 и (24 - 15) : 100;

б) 0,084 0,5 и (84 5) : 10 000.
Объясните полученный ответ.

1473. Округлите числа:

1474. Выполните деление:

а) 22,7: 10; 23,3: 10; 3,14: 10; 9,6: 10;
б) 304: 100; 42,5: 100; 2,5: 100; 0,9: 100; 0,03: 100;
в) 143,4: 12; 1,488: 124 ; 0,3417: 34; 159,9: 235; 65,32: 568.

1475. Велосипедист выехал из села со скоростью 12 км/ч. Через 2 ч в противоположном направлении из того же села выехал другой велосипедист,
причем скорость второго в 1,25 раза больше скорости первого. Какое расстояние будет между ними через 3,3 ч после выезда второго велосипедиста?

1476. Собственная скорость лодки 8,5 км/ч, а скорость течения 1,3 км/ч. Какое расстояние пройдет лодка по течению за 3,5 ч? Какое расстояние пройдет лодка против течения за 5,6 ч?

1477. Завод изготовил 3,75 тыс. деталей и продал их по цене 950 р. за штуку. Расходы завода на изготовление одной детали составили 637,5 р. Найдите прибыль, полученную заводом от продажи этих деталей.

1478. Ширина прямоугольного параллелепипеда 7,2 см, что составляет Найдите объем этого параллелепипеда и округлите ответ до целых.

1479. Папа Карло пообещал каждый день давать Пьеро по 4 сольдо, а Буратино в первый день 1 сольдо, а в каждый следующий день на 1 сольдо больше, если он будет вести себя хорошо. Буратино обиделся: он решил, что, как бы ни старался, никогда не сможет получить в сумме столько же сольдо, сколько Пьеро. Подумайте, прав ли Буратино.

1480. На 3 шкафа и 9 книжных полок пошло 231 м досок, причем на шкаф идет в 4 раза больше материала, чем на полку. Сколько метров досок идет на шкаф и сколько - на полку?

1481. Решите задачу:
1) Первое число равно 6,3 и составляет второго числа. Третье число составляет второго. Найдите второе и третье числа.

2) Первое число 8,1. Второе число составляет от первого числа и от третьего числа. Найдите второе и третье числа.

1482. Найдите значение выражения:

1) (7 - 5,38) 2,5;

2) (8 - 6,46) 1,5.

1483. Найдите значение частного:

а) 17,01: 6,3; г) 1,4245: 3,5; ж) 0,02976: 0,024;
б) 1,598: 4,7; д) 193,2: 8,4; з) 11,59: 3,05;
в) 39,156: 7,8; е) 0,045: 0,18; и) 74,256: 18,2.

1484. Путь от дома до школы равен 1,1 км. Девочка проходит этот путь за 0,25 ч. С какой скоростью идет девочка?

1485. В двухкомнатной квартире площадь одной комнаты 20,64 м 2 , а площадь другой комнаты в 2,4 раза меньше. Найдите площадь этих двух комнат вместе.

1486. Двигатель за 7,5 ч расходует 111 л горючего. Сколько литров горючего израсходует двигатель за 1,8 ч?
1487. Металлическая деталь объемом в 3,5 дм3 имеет массу 27,3 кг. Другая деталь из этого же металла имеет массу 10,92 кг. Каков объем второй детали?

1488. В цистерну через две трубы налили 2,28 т бензина. Через первую трубу поступало 3,6 т бензина в час, и она была открыта 0,4 ч. Через вторую трубу поступало за час на 0,8 т бензина меньше, чем через первую. Сколько времени была открыта вторая труба?

1489. Решите уравнение:

а) 2,136: (1,9 - х) = 7,12; в) 0,2t + 1,7t - 0,54 = 0,22;
б) 4,2 (0,8 + y) = 8,82; г) 5,6г - 2z - 0,7z + 2,65 = 7.

1490. Товар массой в 13,3 т распределили на три автомашины. На первую автомашину погрузили в 1,3 раза больше, а на вторую - в 1,5 раза больше, чем на третью автомашину. Сколько тонн товара погрузили на каждую автомашину?

1491. Два пешехода вышли одновременно из одного места в противоположных направлениях. Через 0,8 ч расстояние между ними стало равным 6,8 км. Скорость одного пешехода была в 1,5 раза больше скорости другого. Найдите скорость каждого пешехода.

1492. Выполните действия:

а) (21,2544: 0,9 + 1,02 3,2) : 5,6;
б) 4,36: (3,15 + 2,3) + (0,792 - 0,78) 350;
в) (3,91: 2,3 5,4 - 4,03) 2,4;
г) 6,93: (0,028 + 0,36 4,2) - 3,5.

1493. В школу пришел врач и принес для прививки 0,25 кг сыворотки. Скольким ребятам он может сделать уколы, если для каждого укола нужно 0,002 кг сыворотки?

1494. В магазин завезли 2,8 т пряников. До обеда было продано этих пряников. Сколько тонн пряников осталось еще продать?

1495. От куска ткани отрезали 5,6 м. Сколько метров ткани было в куске, если отрезали этого куска?

Н.Я. ВИЛЕНКИН, B. И. ЖОХОВ, А. С. ЧЕСНОКОВ, C. И. ШВАРЦБУРД, Математика 5 класс, Учебник для общеобразовательных учреждений

Найдите первую цифру частного (результата деления). Для этого разделите первую цифру делимого на делитель. Результат напишите под делителем.

• В нашем примере первой цифрой делимого является цифра 3. Разделите 3 на 12. Так 3 меньше 12, то результатом деления будет 0. Запишите 0 под делителем – это первая цифра частного.

Умножьте полученный результат на делитель. Напишите результат умножения под первой цифрой делимого, так как эту цифру вы только что разделили на делитель.

• В нашем примере 0 × 12 = 0, поэтому напишите 0 под 3.

Вычтите результат умножения из первой цифры делимого. Запишите ответ на новой строке.

• В нашем примере: 3 - 0 = 3. Напишите 3 непосредственно под 0.

Спустите вниз вторую цифру делимого. Для этого запишите следующую цифру делимого рядом с результатом вычитания.

• В нашем примере делимым является число 30. Вторая цифра делимого – это 0. Спустите ее вниз, записав 0 возле 3 (результат вычитания). Вы получите число 30.

Полученный результат разделите на делитель. Вы найдете вторую цифру частного. Для этого разделите число, расположенное на самой нижней строке, на делитель.

• В нашем примере разделите 30 на 12. 30 ÷ 12 = 2 плюс некоторый остаток (так как 12 х 2 = 24). Напишите 2 после 0 под делителем – это вторая цифра частного.
• Если вы не можете найти подходящую цифру, перебирайте цифры до тех пор, пока результат умножения какой-либо цифры на делитель не окажется меньше и ближе всего к числу, расположенное последним в столбике. В нашем примере рассмотрим цифру 3. Умножьте ее на делитель: 12 х 3 = 36. Так как 36 больше 30, то цифра 3 не подходит. Теперь рассмотрим цифру 2. 12 х 2 = 24. 24 меньше 30, поэтому цифра 2 является верным решением.

Повторите описанные выше шаги, чтобы найти следующую цифру. Описанный алгоритм используется в любой задаче на деление в столбик.

• Умножьте вторую цифру частного на делитель: 2 х 12 = 24.
• Напишите результат умножения (24) под последним числом в столбике (30).
• Вычтите меньшее число из большего. В нашем примере: 30 - 24 = 6. Запишите полученный результат (6) на новой строке.

Если в делимом остались цифры, которые можно спустить вниз, продолжите процесс вычисления. В противном случае перейдите к следующему шагу.

• В нашем примере вы спустили вниз последнюю цифру делимого (0). Поэтому переходите к следующему шагу.

В случае необходимости воспользуйтесь десятичной запятой, чтобы расширить делимое. Если делимое делится на делитель нацело, то на последней строке вы получите цифру 0. Это означает, что задача решена, а ответ (в виде целого числа) записан под делителем. Но если в самом низу столбика находится любая цифра, отличная от 0, необходимо расширить делимое, поставив десятичную запятую и приписав 0. Напомним, что это не меняет значения делимого.

• В нашем примере на последней строке находится цифра 6. Поэтому справа от 30 (делимое) напишите десятичную запятую, а затем напишите 0. Также десятичную запятую поставьте после найденных цифр частного, которые вы записываете под делителем (после этой запятой пока ничего не пишите!).

Повторите описанные действия, чтобы найти следующую цифру. Главное не забудьте поставить десятичную запятую как после делимого, так и после найденных цифр частного. В остальном процесс аналогичен процессу, описанному выше.

• В нашем примере спустите вниз 0 (который вы написали после десятичной запятой). Вы получите число 60. Теперь разделите это число на делитель: 60 ÷ 12 = 5. Напишите 5 после 2 (и после десятичной запятой) под делителем. Это третья цифра частного. Таким образом, окончательный ответ: 2,5 (нулем перед 2 можно пренебречь).

На прошлом уроке мы научились складывать и вычитать десятичные дроби (см. урок «Сложение и вычитание десятичных дробей »). Заодно оценили, насколько упрощаются вычисления по сравнению с обычными «двухэтажными» дробями.

К сожалению, с умножением и делением десятичных дробей подобного эффекта не возникает. В некоторых случаях десятичная запись числа даже усложняет эти операции.

Для начала введем новое определение. Мы будем встречаться с ним довольно часто, и не только на этом уроке.

Значащая часть числа - это все, что находится между первой и последней ненулевой цифрой, включая концы. Речь идет только о цифрах, десятичная точка не учитывается.

Цифры, входящие в значащую часть числа, называются значащими цифрами. Они могут повторяться и даже быть равными нулю.

Например, рассмотрим несколько десятичных дробей и выпишем соответствующие им значащие части:

1. 91,25 → 9125 (значащие цифры: 9; 1; 2; 5);
2. 0,008241 → 8241 (значащие цифры: 8; 2; 4; 1);
3. 15,0075 → 150075 (значащие цифры: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (значащие цифры: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (значащая цифра всего одна: 3).

Обратите внимание: нули, стоящие внутри значащей части числа, никуда не деваются. Мы уже сталкивались с чем-то подобным, когда учились переводить десятичные дроби в обычные (см. урок «Десятичные дроби »).

Этот момент настолько важен, а ошибки здесь допускают так часто, что в ближайшее время я опубликую тест на эту тему. Обязательно потренируйтесь! А мы, вооружившись понятием значащей части, приступим, собственно, к теме урока.

Умножение десятичных дробей

Операция умножения состоит из трех последовательных шагов:

1. Для каждой дроби выписать значащую часть. Получатся два обычных целых числа - без всяких знаменателей и десятичных точек;
2. Умножить эти числа любым удобным способом. Напрямую, если числа невелики, или столбиком. Получим значащую часть искомой дроби;
3. Выяснить, куда и на сколько разрядов сдвигается десятичная точка в исходных дробях для получения соответствующей значащей части. Выполнить обратные сдвиги для значащей части, полученной на предыдущем шаге.

Еще раз напомню, что нули, стоящие по бокам от значащей части, никогда не учитываются. Игнорирование этого правила приводит к ошибкам.

1. 0,28 · 12,5;
2. 6,3 · 1,08;
3. 132,5 · 0,0034;
4. 0,0108 · 1600,5;
5. 5,25 · 10 000.

Работаем с первым выражением: 0,28 · 12,5.

1. Выпишем значащие части для чисел из этого выражения: 28 и 125;
2. Их произведение: 28 · 125 = 3500;
3. В первом множителе десятичная точка сдвинута на 2 цифры вправо (0,28 → 28), а во второй - еще на 1 цифру. Итого нужен сдвиг влево на три цифры: 3500 → 3,500 = 3,5.

Теперь разберемся с выражением 6,3 · 1,08.

1. Выпишем значащие части: 63 и 108;
2. Их произведение: 63 · 108 = 6804;
3. Снова два сдвига вправо: на 2 и 1 цифру соответственно. Всего - снова 3 цифры вправо, поэтому обратный сдвиг будет на 3 цифры влево: 6804 → 6,804. В этот раз нулей на конце нет.

Добрались до третьего выражения: 132,5 · 0,0034.

1. Значащие части: 1325 и 34;
2. Их произведение: 1325 · 34 = 45 050;
3. В первой дроби десятичная точка уходит вправо на 1 цифру, а во второй - на целых 4. Итого: 5 вправо. Выполняем сдвиг на 5 влево: 45 050 → ,45050 = 0,4505. В конце убрали ноль, а спереди - дописали, чтобы не оставлять «голую» десятичную точку.

Следующее выражение: 0,0108 · 1600,5.

1. Пишем значащие части: 108 и 16 005;
2. Умножаем их: 108 · 16 005 = 1 728 540;
3. Считаем цифры после десятичной точки: в первом числе их 4, во втором - 1. Всего - снова 5. Имеем: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. В конце убрали «лишний» ноль.

Наконец, последнее выражение: 5,25 · 10 000.

1. Значащие части: 525 и 1;
2. Умножаем их: 525 · 1 = 525;
3. В первой дроби выполнен сдвиг на 2 цифры вправо, а во второй - на 4 цифры влево (10 000 → 1,0000 = 1). Итого 4 − 2 = 2 цифры влево. Выполняем обратный сдвиг на 2 цифры вправо: 525, → 52 500 (пришлось дописать нули).

Обратите внимание на последний пример: поскольку десятичная точка перемещается в разных направлениях, суммарный сдвиг находится через разность. Это очень важный момент! Вот еще пример:

Рассмотрим числа 1,5 и 12 500. Имеем: 1,5 → 15 (сдвиг на 1 вправо); 12 500 → 125 (сдвиг на 2 влево). Мы «шагаем» на 1 разряд вправо, а затем - на 2 влево. В итоге, мы шагнули на 2 − 1 = 1 разряд влево.

Деление десятичных дробей

Деление - это, пожалуй, самая сложная операция. Конечно, здесь можно действовать по аналогии с умножением: делить значащие части, а затем «двигать» десятичную точку. Но в этом случае возникает много тонкостей, которые сводят на нет потенциальную экономию.

Поэтому давайте рассмотрим универсальный алгоритм, который чуть-чуть длиннее, но намного надежнее:

1. Перевести все десятичные дроби в обычные. Если немного потренироваться, на этот шаг у вас будут уходить считанные секунды;
2. Разделить полученные дроби классическим способом. Другими словами, умножить первую дробь на «перевернутую» вторую (см. урок «Умножение и деление числовых дробей »);
3. Если возможно, результат снова представить в виде десятичной дроби. Этот шаг тоже выполняется быстро, поскольку зачастую в знаменателе уже стоит степень десятки.

Задача. Найдите значение выражения:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

Считаем первое выражение. Для начала переведем оби дроби в десятичные:

Аналогично поступим со вторым выражением. Числитель первой дроби снова разложится на множители:

В третьем и четвертом примерах есть важный момент: после избавления от десятичной записи возникают сократимые дроби. Однако мы не будем выполнять это сокращение.

Последний пример интересен тем, что в числителе второй дроби стоит простое число. Здесь просто нечего разлагать на множители, поэтому считаем «напролом»:

Иногда в результате деления получается целое число (это я про последний пример). В таком случае третий шаг вообще не выполняется.

Кроме того, при делении часто возникают «некрасивые» дроби, которые нельзя перевести в десятичные. Этим деление отличается от умножения, где результаты всегда представимы в десятичной форме. Разумеется, в таком случае последний шаг опять же не выполняется.

Обратите также внимание на 3-й и 4-й примеры. В них мы намеренно не сокращаем обычные дроби, полученные из десятичных. Иначе это усложнит обратную задачу - представление конечного ответа снова в десятичном виде.

Запомните: основное свойство дроби (как и любое другое правило в математике) само по себе еще не означает, что его надо применять везде и всегда, при каждом удобном случае.

Деление на десятичную дробь сводится к делению на натуральное число.

Правило деления числа на десятичную дробь

Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо и в делимом, и в делителе запятую перенести на столько цифр вправо, сколько их в делителе после запятой. После этого выполнить деление на натуральное число.

Примеры.

Выполнить деление на десятичную дробь:

Чтобы разделить на десятичную дробь, нужно и в делимом, и в делителе перенести запятую на столько цифр вправо, сколько их после запятой в делителе, то есть, на один знак. Получаем: 35,1: 1,8 =351: 18. Теперь выполняем деление уголком. В итоге получаем: 35,1: 1,8 = 19,5.

2) 14,76: 3,6

Чтобы выполнить деление десятичных дробей, и в делимом, и в делителе переносим запятую вправо на один знак: 14,76: 3,6 = 147,6: 36. Теперь выполняемна натуральное число. Результат: 14,76: 3,6 = 4,1.

Чтобы выполнить деление на десятичную дробь натурального числа, надо и в делимом, и в делителе перенести на столько знаков вправо, сколько их в делителе после запятой. Поскольку в делителе в этом случае запятая не пишется, недостающее количество знаков заполняем нулями: 70: 1,75 = 7000: 175. Делим уголком полученные натуральные числа: 70: 1,75 = 7000: 175 =40.

4) 0,1218: 0,058

Чтобы разделить одну десятичную дробь на другую, переносим запятую вправо и в делимом, и в делителе на столько знаков, сколько их в делителе после запятой, то есть на три знака. Таким образом, 0,1218: 0,058 = 121,8: 58. Деление на десятичную дробь заменили делением на натуральное число. Делим уголком. Имеем: 0,1218: 0,058 = 121,8: 58 = 2,1.

5) 0,0456: 3,8