Рассмотрим множество А = {а1, а2,..., аn}, содержащее n различных элементов, которое будем называть n-множеством
или генеральной совокупностью объема n. Из n-множества можно образовать его части (подмножества).
Определение. Подмножество, состоящее из m элементов n-множества, называют m-подмножеством n-множества или со-
единением из n элементов по m, или выборкой объема m из генеральной совокупности объема n.
Возможны два способа выбора:

1. Выбор без возвращения, при котором однажды выбранный элемент удаляется из генеральной совокупности. Выборка
(соединение) в этом случае не содержит повторяющихся элементов.

2. Выбор с возвращением, при котором выбор производится каждый раз из всей генеральной совокупности, то есть перед
следующим выбором предыдущий выбранный элемент возвращается в генеральную совокупность. В выборке (соединении) в
этом случае встречаются повторения.

Какие выборки одного и того же объема считать различными и какие одинаковыми, зависит от правил выбора соедине-
ния (подмножества, выборки).
Два соединения могут отличаться либо 1) составом, если они содержат хотя бы по одному различному элементу, либо
2) порядком входящих элементов.
В зависимости от правил выбора соединения делят на три типа: размещения, перестановки, сочетания. В зависимости от
способа выбора (без возвращения или с возвращением) каждый тип соединения может быть без повторений или с повторениями.

2. Размещения без и с повторениями.

Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно
выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?
Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой
можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов,
среди которых есть одинаковые?

Определение. Размещениями из n элементов по m называются соединения из n элементов по m, которые отличаются
друг от друга либо своими элементами (составом), либо порядком их расположения.

На языке теории множеств это звучит следующим образом: размещения из n элементов по m – это упорядоченное
m-подмножество n-множества (упорядоченная m-выборка из генеральной совокупности объема n). Термин «упорядоченная»
означает, что порядок следования элементов в выборке существенен: выборки с одними и теми же элементами, но с разным
порядком их следования различны.

Задача . Пусть имеется множество, содержащее 4 буквы:
{А, B, C, D}. Записать все возможные размещения из 4 указанных букв по две:

а) без повторений;

б) с повторениями.

Решение.

а) Таких размещений 12: (АВ), (AC), (АD), (ВС),(ВD), (BA), (CA), (CB), (СD), (DА), (DВ), (DС). Заметим, что
размещения отличаются порядком входящих в них элементов и их составом. Размещения АВ и ВА содержат одинаковые буквы,
но порядок их расположения различен.
б) Таких размещений 16. К приведенным для случая (а)
размещениям добавляются размещения из одинаковых элементов (АА), (BB), (CC), (DD).

Задача . Пусть имеется множество, содержащее 2 буквы:{A, B}. Записать все возможные размещения с повторениями из
4-х букв.
Решение. Таких размещений 16: (AAAA), (BBBB), (AAAB),(AABA), (ABAA), (BAAA), (AABB), (ABAB), (BABA), (BBAA), (ABBA),
(BAAB), (BBBA), (BBAB), (BABB), (ABBB).

Теорема 3. 3.1 Число различных размещений без повторений из n элементов по m равно

для выборки без возвращения.

3.2 Число размещений с повторениями из n элементов по m равноm (2) для выборки с возвращением.

Доказательство. Для доказательства воспользуемся пра- вилом умножения.

Рассмотрим выборки без возвращения. Для выбора первого элемента имеется n возможностей, второго – (n – 1)

(перед вторым выбором в генеральной совокупности ос- талось (n –1) элементов),..., при m-ом выборе (n – m + 1) воз- можностей.

Таким образом, по правилу умножения

Запишем выражение в более удобном виде, умножив и разделив его на (m – n)!

Считается, что 0! = 1, что позволяет использовать эту формулу для случая m = n.

Рассмотрим выборки с возвращением . Для выбора первого элемента имеется n возможностей, второго – тоже n (перед выбо-
ром очередного элемента предыдущий выбранный элемент зафиксирован и возвращен в генеральную совокупность), при m-м вы-
боре тоже n возможностей. Таким образом .

Задача . В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии.

Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?
Решение . В данной задаче генеральной совокупностью являются 12 страниц газеты, и выборкой без возвращения 4 выбранные из них страницы для фотографий. В данной задаче важно не только то, какие выбраны страницы, но и в каком порядке (для расположения фотографий). Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

Задача . У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих
штампов нанести на все книги пятизначные номера – составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может со-
ставить мальчик?
Решение. Можно считать, что опыт состоит в 5-кратном выборе с возращением одной из 3 цифр {1, 3, 7}. Таким образом, число пятизначных номеров определяется числом размещений с повторениями из 3 элементов по 5:

3. Перестановки без повторений
Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно
выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?
Определение. Размещения, в которых участвуют все n элементов генеральной совокупности, называются перестанов-
ками без повторений из n элементов. Перестановки состоят из одних и тех же элементов, но отличаются между собой порядком.

Задача . Пусть имеется множество букв {A, B, C}. Записать все возможные перестановки.
Решение. Этому множеству букв соответствует 6 перестановок: (АВС), (ACB), (BAC), (BCA), (CBA), (CAB).

Теорема . Число перестановок n различных элементов равно n!, т. е. Рn = n!

Доказательство. Так как перестановки являются частным случаем размещений, то при n = m получаем

Замечание. При больших n для подсчета факториала исполь- зуют таблицу логарифмов факториалов либо приближенную формулу Стирлинга

Задача . Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова «брак»?

Решение . Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова «брак» {б, р, а, к}.

Число «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е. Р4 = 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24.

Задача . Сколькими способами можно расставить девять различных книг на полке, чтобы определенные четыре книги стояли рядом?

Решение . В исходной генеральной совокупности – 9 разных книг.

Тогда для остальных 6 книг существует Р6 = 6! = 720 перестановок.

Однако четыре определенные книги можно переставить между собой Р4 = 4! = 24 способами.

По правилу умножения имеем Р6 x Р4 = 720 x 24 = 17280.

4. Перестановки с повторениями
Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на
n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k < n), т. е. есть одинаковые предметы.

Определение. Перестановками с повторениями называются соединения из генеральной совокупности, каждое из которых содержит n элементов, среди которых элемент

а1 повторяется n1 раз,
а2 повторяется n2 раз,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
аn повторяется nk раз
n1 + n2 + ... + nk = n
и которые отличаются друг от друга только порядком расположения различных элементов.

Теорема. Число перестановок с повторениями

Доказательство. Доказательство очевидно, так как перестановки одинаковых элементов в перестановке с повторениями не дают новой перестановки.

Задача .

Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?

Решение. Здесь 1 буква «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква «п», всего 9 букв.

Следовательно, число перестановок с повторениями равно

5. Сочетания без повторений
Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из п различных предметов?
Определение. Сочетаниями из n различных элементов по m называются соединения из n элементов по m (m <=n), которые
отличаются друг от друга только составом элементов.

Задача. Пусть имеется множество, содержащее 4 буквы {A, B, C, D}. Запишем все возможные сочетания из указанных
букв по 3.
Решение. Таких сочетаний 4: ABC, ACD, ABD, BCD.
Здесь в число сочетаний не включены, например, АСВ,ВСА, так как они не отличаются по составу от последовательно-
сти букв АВС, потому что перестановка элементов нового сочетания не дает.

Теорема. Число сочетаний из n элементов по m равно

Доказательство.

Вспомним, что и сочетания, и размещения из n элементов по m – это выборки объема m из генеральной совокупности объема n и разница между ними в том, что в случае размещений важен и состав, и порядок элементов, тогда как в случае сочетаний важен только состав элементов. Пусть имеется какое-то одно сочетание. Для того, чтобы образовать все размещения с такими же элементами, нужно осуществить всевозможные перестановки элементов этого сочетания. Поскольку в сочетании m элементов, то существует m! перестановок. Следовательно, одному сочетанию, состоящему из m элементов, соответствует m! размещений с этими элементами. Поэтому

Числа называются биномиальными коэффициентами: они являются коэффициентами в разложении бинома Ньютона

Задача . Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющих- ся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Решение . Генеральной совокупностью является 10 раз- личных книг. Из них нужно выбрать 4, причем порядок выбора книг не играет роли. Нужно найти число сочетаний из 10 элементов по

Задача . Имеется 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 7 шаров, чтобы среди них были 3 черных?

Решение . Имеем 15 шаров: 10 белых и 5 черных. Нужно выбрать 7 шаров: 4 белых и 3 черных.

Разобьем 15 шаров на 2 генеральные совокупности:

1) 10 белых шаров;

2) 5 черных шаров.

4 белых шара будем выбирать из I генеральной совокупности, порядок выбора безразличен, их можно выбрать

Способами. 3 черных шара будем выбирать из II генеральной совокупности, их можно выбрать

Способами.

Тогда по правилу умножения искомое число способов равно .

Решение этой задачи можно схематически представить следующим образом

Задача . Десять команд участвуют в розыгрыше первенства по футболу, лучшие из которых занимают 1-е, 2-е и 3-е место.

Две команды, занявшие последние места, не будут участвовать в следующем таком же первенстве.

Сколько разных вариантов результата первенства может быть, если учитывать только положение первых трех и последних двух команд.

Решение . Имеется генеральная совокупность объема 10 команд. Из нее будем выбирать 5 команд в 2 этапа:

1) сначала на первые 3 места из 10 с учетом состава и порядка команд;

2) затем на последние 2 места из оставшихся 7 с учетом только состава (порядок выбывших команд не важен).

Первые 3 места могут быть распределены способами.

Число способов исключить 2 команды из оставшихся 7 равно .

Согласно правилу умножения получаем, что число разных результатов неравенства равно 0.

Задача .

Сколько существует вариантов опроса 11 учащихся на одном занятии, если ни одни из них не будет подверг нут опросу дважды и на занятии может быть опрошено любое количество учащихся, причем порядок, в котором опрашивают- ся учащиеся, безразличен?

Решение .

I способ. Имеется генеральная совокупность объема 11 учащихся. Преподаватель может не опросить ни одного из 11 учащихся, что является одним из вариантов. Этому случаю соответствует . Преподаватель может опросить только одного из учащихся, таких вариантов .

Если преподаватель опросит двух учащихся, то число вариантов опроса . Для опроса трех учащихся существует вариантов и т. д.

Наконец, могут быть опрошены все учащиеся. Число вариантов в этом случае .

Число всех возможных вариантов опроса можно найти по пра- вилу сложения

Решение этой задачи можно схематически представить следующим образом:

II способ. Имеется генеральная совокупность, состоящая из 2 элементов:

{а, в}, где а – ученик опрошен, в – ученик не опрошен на данном занятии.

Опыт состоит в 11-кратном выборе с возвращением одного из элементов этого множества – каждый из 11 учеников либо опрошен, либо не опрошен.

В данной задаче важно не только то, какие выбраны элементы множества (сколько учеников опрошено и сколько нет),

но и в каком порядке (т. е. какой именно ученик опрошен или нет).

Число способов такого выбора определяется числом размещений с повторениями из 2 элементов по 11; .

6. Сочетания с повторениями
Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями:
имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов;

сколькими способами можно выбрать m (m <= r) из этих (n x r) предметов?

Определение . Сочетаниями с повторениями называются соединения из n элементов по m (выбор с возвращением m элементов), которые отличаются только составом и при этом отдельные соединения могут содержать повторяющиеся элементы.

Задача . Имеются 2 буквы А, 2 буквы В, 2 буквы С. Сколькими способами можно выбрать две из этих шести букв?
Решение. Существует 6 способов выбора 2 букв из 6 с повторениями: (АА), (AB), (AC), (BC), (BB), (CC). Порядок следо-
вания букв не учитывается.

Теорема . Число сочетаний с повторениями равно

Доказательство. Пусть имеются предметы n различных типов. Сколько соединений по m элементов можно из них сделать, если не принимать во внимание порядок элементов. Расположим в каждом сочетании элементы по типам (сначала все элементы 1-го типа, потом 2-го и т. д.). После этого перенумеруем все элементы в сочетании, но к номерам элементов второ- го типа прибавим 1, третьего типа – 2 и т. д. Тогда из каждого сочетания с повторениями получится сочетание без повторений, состоящее из чисел 1, 2,..., n + m – 1, причем в каждое сочетание входит m элементов.

Отсюда следует, что

Задача . В технической библиотеке имеются книги по ма- тематике, физике, химии и т. д., всего по 16 разделам науки.

Поступили очередные 4 заказа на литературу. Сколько сущест- вует вариантов такого заказа?

Решение. Так как 4 заказанные книги могут быть и из одно- го раздела науки, и из разных разделов, при этом порядок выбора разделов не важен, то число вариантов заказа определяется чис- лом сочетаний с повторениями из 16 элементов по 4, т. е.

Задача . В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Решение . Очевидно, что порядок, в котором выбираются пирожные, не существен, причем в комбинации могут входить повторяющиеся элементы (например, можно купить 7 эклеров). Следовательно, число способов покупки 7 пирожных определяется числом сочетаний с повторениями из 4 элементов по 7, т. е

7. Комбинаторика разбиений

Рассмотрим в этом классе задач две следующие задачи:

1. Даны n различных предметов и k различных групп. Сколькими способами можно распределить n различных предметов по k различным группам, если допускаются пустые группы. Ниже покажем, что число способов равно k^n .

2. Даны n различных предметов и k различных групп. Сколькими способами можно распределить n различных пред- метов по k группам, если в первой группе n1 предметов, во второй – n2 , в k-й – nk , где n1 + n2 +... + nk = n . Ниже покажем, что число способов равно

Рассмотрим решение первой задачи. Пусть генеральной совокупностью будет k различных групп {1, 2,..., k}. Можно считать, что опыт состоит в n-кратном выборе с возвращением номера группы для каждого предмета. Заметим, что поскольку предметы разные, то важно не только, какие группы выбираются для предметов, но и в каком порядке выбираются эти группы. Таким образом, число способов раз- бить n различных предметов на k групп определяется числом размещений с повторениями и k элементов по n:

Рассмотрим решение второй задачи.

Разбиение n предметов по k группам можно выполнить следующим образом. Сначала положим все n предметов в ряд. После этого возьмем первые n1 предметов и поместим их в первую группу, вторые n2 предмета – во вторую группу, ..., последние nk предметов в k-ю группу. Ясно, что меняя положение предметов в ряду, можно получить всевозможные разбиения предметов. Так как число перестановок из n элементов равно n!, то число расположения предметов в ряд равно n! При этом заметим, что любая перестановка первых n1 предметов ничего не меняет, так же как и вторых n2, ..., и последних nk. В силу правила произведения получим n1!n2!...nk! перестановок предметов, не меняющих результата раздела. Таким образом, число способов разбиения на группы равно

Формула совпадает с формулой для числа перестановок с повторениями. К этому же результату можно прийти иначе. Первые n1 предметов выбираем из n предметов. Так как порядок выбранных предметов безразличен, то имеет выборов. После этого следующие n2 предмета выбираем из оставшихся n – n1. Это можно сделать способами, и т. д.

Наконец, последние nk предметов выбираем из оставшихся nk. Это можно сделать , т. е. единственным способом. По правилу произведения получаем, что число способов разбиения на группы равно

Как видим, задачи о разбиениях привели к уже известным формулам комбинаторики.

Задача. 7 одинаковых шариков случайным образом рас- сыпаются по 4 лункам (в одну лунку может поместиться любое число шаров). Сколько существует различных способов распре- деления 7 шариков по 4 лункам?

Решение. Мы имеем 7 шариков, которые распределяем по 4 лункам (лунки могут быть пустые), т. е. это соответствует первой задаче о разбиениях, число способов равно 4^7 = 16348

Задача. При игре в домино 4 игрока делят поровну 28 костей. Сколькими способами они могут это сделать?

Решение. Это задача о разделе 28 костей между 4 игрока- ми по 7 костей. Используя полученную выше формулу для числа способов такого раздела (задача 2), имеем

8. Рекомендации по решению задач
Решение комбинаторных задач представляет известную трудность для начинающих. Причин много, но одна из них очевидна – при изложении комбинаторики используется своя специфическая терминология (генеральная совокупность, выборка, правила выбора). В задаче же этих терминов, как правило, нет –сформулирована она на обычном литературном языке и комби-

наторные понятия присутствуют в ней в неявной форме. Поэтому после усвоения содержания задачи нужно ее «перевести»
на математический язык.
Для этого необходимо выяснить,
1) что является генеральной совокупностью - она всегда будет присутствовать в задаче, т. е. комбинаторные задачи свя-
заны с выбором объектов, а этот выбор из чего-то (генеральной совокупности) производится; каков объем генеральной сово-
купности;
2) одна или несколько генеральных совокупностей;
3) что является выборкой и каков объем выборки;
4) правила выбора: допустимы или нет повторы, важен ли порядок выбираемых элементов, возможно ли изменение состава.
После этого полезно для себя переформулировать задачу на языке генеральных совокупностей и выборок. В зависимости
от ситуации выбрать нужную формулу (см. таблицу). Иногда в более сложных задачах приходится использовать совместно не-
сколько формул.

В заключение приведем основные свойства чисел .

Прежде всего, построим таблицу таких чисел, используя формулу (3.11).

Таблица чисел имеет треугольную форму и называется треугольником Паскаля по имени математика Блеза Паскаля (1623-1662). Анализируя треугольник Паскаля, легко видеть основные свойства чисел .

Свойства 1 – 2 вытекают из определения сочетания как подмножества, содержащего m элементов множества, имеющего n элементов.

Свойства 3 – 5 доказываются методом математической индукции.

В силу свойства 4 треугольник Паскаля легко продолжить вниз на любое число шагов.

рис 3.2 схема определения вида расстановок и выбора формул

Учитесь решать задачи по комбинаторике? На самом начальном этапе нужно изучить основные формулы комбинаторики : сочетания, размещения, перестановки (смотрите ) и научиться их применять для решения задач.

Как выбрать формулу комбинаторики?

Мы подготовили для вас наглядную схему с примерами решений по каждой формуле комбинаторики:

• алгоритм выбора формулы (сочетания, перестановки, размещения с повторениями и без),
• рекомендации по изучению комбинаторики,
• 6 задач с решениями и комментариями на каждую формулу.

Перестановки

Будем переставлять их всеми возможными способами (число объектов остается неизменными, меняется только их порядок). Получившиеся комбинации называются перестановками , а их число равно

$$P_n=n!=1\cdot 2\cdot 3 \cdot ... \cdot (n-1) \cdot n$$

Символ $n!$ называется факториалом и обозначает произведение всех целых чисел от $1$ до $n$. По определению, считают, что $0!=1, 1!=1$.

Пример всех перестановок из $n=3$ объектов (различных фигур) - на картинке справа. Согласно формуле, их должно быть ровно $P_3=3!=1\cdot 2\cdot 3 =6$, так и получается.

С ростом числа объектов количество перестановок очень быстро растет и изображать их наглядно становится затруднительно. Например, число перестановок из 10 предметов - уже 3628800 (больше 3 миллионов!).

Размещения

Пусть имеется $n$ различных объектов.
Будем выбирать из них $m$ объектов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок). Получившиеся комбинации называются размещениями

$$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}=n\cdot (n-1)\cdot ... \cdot (n-m+1) $$

Пример всех размещений из $n=3$ объектов (различных фигур) по $m=2$ - на картинке справа. Согласно формуле, их должно быть ровно $A_3^2=3\cdot (3-2+1)=3\cdot 2 =6$.

Сочетания

Пусть имеется $n$ различных объектов.
Будем выбирать из них $m$ объектов все возможными способами (то есть меняется состав выбранных объектов, но порядок не важен). Получившиеся комбинации называются сочетаниями из $n$ объектов по $m$, а их число равно

$$C_n^m=\frac{n!}{(n-m)!\cdot m!} $$

Пример всех сочетаний из $n=3$ объектов (различных фигур) по $m=2$ - на картинке справа. Согласно формуле, их должно быть ровно $C_3^2=\frac{3!}{(3-2)!\cdot 2!} =3$. Ясно, что сочетаний всегда меньше чем размещений (так как при размещениях порядок важен, а для сочетаний - нет), причем именно в $m!$ раз, то есть верна формула связи:

$$ A_n^m = C_n^m \cdot P_m.$$

Цель занятия: уметь применять основные формулы комбинаторики и знать условия применения этих формул; знать свойства биномиальных коэффициентов и уметь определять разложение бинома при конкретных значениях n.

План занятия:

1. Число размещений.

2. Число перестановок.

3. Число сочетаний.

4. Повторения.

5. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля.

Методические указания по изучению темы

Во многих практических случаях возникает необходимость подсчитать количество возможных комбинаций объектов, удовлетворяющих определенным условиям. Такие задачи называются комбинаторными. Разнообразие комбинаторных задач не поддается исчерпывающему описанию, но среди них есть целый ряд особенно часто встречающихся, для которых известны способы подсчета.

Комбинаторика – область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству. Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова combina – сочетать, соединять.

Пусть есть некоторое множество из n элементов: x 1, x 2, x 3, …, x n .

Из этого множества можно образовать различные подмножества, то есть выборки, каждая из которых содержит m элементов (0 ≤ m ≤ n). Различают упорядоченные выборки (размещения), перестановки и неупорядоченные выборки (сочетания).

Размещения

Размещениями n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

Число размещений из n элементов по m элементов обозначают (А – первая буква французского слова arrangement, что означает размещение, приведение в порядок) и вычисляют по формуле:

Понятие факториала

Произведение n натуральных чисел от 1 до n обозначается символом n ! (n факториал), то есть

Например, 2!=

5!=

Заметим, что удобно рассчитывать 0!, полагая по определению, 0!=1.

Примеры:

Из последних двух формул следует, что

Пример.

В однокруговом турнире по футболу участвуют 8 команд. Сколько существует вариантов призовой тройки?

Решение : Так как порядок команд в призовой тройке важен, то мы имеем дело с размещениями. Тогда

(вариантов).

Пример.

Сколькими способами можно выбрать три лица на три различные должности из десяти кандидатов?

Решение:

(способов).

Пример.

Сколько можно составить телефонных номеров из 5 цифр так, чтобы в каждом отдельно взятом номере все цифры были различными?

(телефонных номеров).

Перестановки

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.

Число всех возможных перестановок из n элементов обозначают P n (P – первая буква французского слова permutation, что означает перестановка) и вычисляют по формуле:

Пример.

В финальном забеге на 100 метров участвуют 8 спортсменов. Сколько существует вариантов протокола забега?

Решение:

В данном случае речь идёт обо всех перестановках из 8 элементов. Тогда (вариантов)

Пример.

Сколькими различными способами могут разместиться на скамейке10 человек?

Решение:

(способов)

Пример.

Сколькими способами можно разместить 7 лиц за столом, на котором поставлено 7 столовых приборов?

Решение:

(способов).

Сочетания

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Число сочетаний вычисляют по формуле: (С - первая буква французского слова combinasion).

Пример.

Сколькими способами можно выбрать три лица на три одинаковые должности из десяти кандидатов?

Решение :

(способов).

Пример.

Сколькими способами можно выбрать три детали из ящика, содержащего 15 деталей?

Решение:

(способов).

Другой вид формул числа размещений и числа сочетаний

; , то есть .

Свойства числа сочетаний:

5)

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов n способами, а другой объект В – k способами, то объект «либо А, либо В» можно выбрать n+k способами.

Правило произведения. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов n способами и после каждого такого выбора другой объект В – k способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана n×k способами.

Если некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам.

Размещения с повторениями

Число размещений по m элементов с повторениями из n различных элементов равно n m ,то есть

Пример.

Из цифр 1,2,3,4,5 можно составить 5 3 =125 трехзначных чисел, если в одном и том же числе могут попадаться и одинаковые цифры.

Перестановки с повторениями

Если среди n элементов есть n 1 элементов одного вида, n 2 элементов другого вида и т.д., то число перестановок с повторениями

где

Пример.

Сколько различных перестановок букв можно сделать в слове «математика»?

Решение:

Сочетания с повторениями

Число сочетаний с повторениями из n различных элементов по m элементов равно числу сочетаний без повторений из (n +m -1) различных элементов по m элементов:

Пример.

Найти число сочетаний с повторениями из четырех элементов a , b , c , d по 3 элемента.

Решение:

Искомое число будет

Бином Ньютона

Для произвольного положительного целого числа n справедлива следующая формула:

Это бином Ньютона. Коэффициенты называются биномиальными коэффициентами.

При n = 2 получим формулу ;

При n = 3 получим формулу .

Пример. Определить разложение при n=4.

Решение:

Биномиальные коэффициенты обладают рядом свойств:

2. ;

Рассмотрим следующий треугольник:

………………………….

Строка под номером n содержит биномиальные коэффициенты разложения . Воспользовавшись свойством , можно заметить, что каждый внутренний элемент треугольника равен сумме двух элементов, расположенных над ним, а боковые элементы треугольника – единицы:

……………………….

Это треугольник Паскаля. Он позволяет быстро найти значения биномиальных коэффициентов.

В русскоязычной литературе перестановки, составленные из n различных элементов выбором по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком, обычно называют размещениями, а под перестановками понимают всю совокупность комбинаций, состоящих из одних и тех же n различных элементов и отличающихся только порядком их расположения. В этом смысле число всех возможных перестановок для множества из n различных элементов считается по формуле факториала Pn = n! или в Excel «=ФАКТР(N)» (см. рис. № 1)

Например, если ввести «=ПЕРЕСТ(3;2)», получим 6. Это 6 комбинации: (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2).

А вот встроенная функция «=ЧИСЛКОМБ(N;K)» выдает комбинаторную формулу, называемую у нас «Число сочетаний». В русскоязычной литературе так именуют перестановки, составленные из n различных элементов выбором по m элементов, которые отличаются только составом элементов, а порядок их выбора безразличен (см. рис, №4)

При использовании встроенных функций пользуйтесь «Справкой по этой функции». Например:

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить:

2. Вычислить:

3. Вычислить:

4. Найти n , если 5С n 3 =

5. Найти n , если

6. Найти n , если

7. Найти n , если

8. Найти n , если , k n

9. Решить уравнение

10. Решить систему

11. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

12. Сколькими способами можно выбрать четыре лица на четыре различные должности из девяти кандидатов?

13. Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр так, чтобы в каждом отдельно взятом номере все цифры были различны?

14. В классе 10 учебных предметов и 5 разных уроков в день. Сколькими способами могут быть распределены уроки в один день?

15. Сколько можно записать четырёхзначных чисел, используя без повторения все 10 цифр?

16. Фирма производит выбор из девяти кандидатов на три различные должности. Сколько существует способов такого выбора?

17. В восьмом классе изучается 15 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на среду, если известно, что в этот день должно быть 6 уроков?

18. В высшей лиге чемпионата страны по футболу 16 команд. Борьба идет за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами медали могут быть распределены между командами?

19. Сколькими способами можно разместить 9 лиц за столом, на котором поставлено 9 приборов?

20. На собрании выступят 6 ораторов. Сколькими способами их фамилии можно расположить в списке?

21. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

22. Сколькими различными способами можно расставить 10 различных книг на полке, чтобы определённые 4 книги стояли рядом?

23. В однокруговом турнире по футболу участвуют 8 команд. Сколько всего матчей будет сыграно?

24. Из 25 студентов нужно выбрать трех делегатов на конференцию. Сколькими способами это можно сделать?

25. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

26. В колоде 36 карт, из них 4 туза. Сколькими способами можно извлечь 6 карт так, чтобы среди них было 2 туза?

27. Комплексная бригада состоит из двух маляров, трёх штукатуров и одного столяра. Сколько различных бригад можно создать из рабочего коллектива, в котором 15 маляров, 10 штукатуров и 5 столяров?

28. В отборочном турнире за 3 путёвки на чемпионат мира участвуют 10 команд. Сколько существует вариантов «счастливой тройки»?

29. Из 12 человек выбирают четверых для назначения на 4 одинаковые должности. Сколькими способами можно сделать такой выбор?

30. Сколькими различными способами можно составить разведывательную группу из 3-х солдат и одного командира, если имеется 12 солдат и 3 командира?

31. На плоскости дано n точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Найти число прямых, которые можно получить, соединяя точки попарно.

32. Буквы азбуки Морзе образуются как последовательность точек и тире. Сколько различных букв можно образовать, если использовать 5 символов?

33. Сколько существует различных семизначных телефонных номеров?

34. Пусть буквы некоторой азбуки образуются как последовательность точек, тире и пробелов. Сколько различных букв можно образовать, если использовать 5 символов?

35. При игре в бридж между четырьмя игроками распределяется колода карт в 52 листа по 13 карт каждому игроку. Сколько существует различных способов раздать карты?

36. В почтовом отделении продаются открытки пяти видов. Определить число способов покупки семи открыток.

37. Два коллекционера обмениваются марками. Найти число способов обмена, если первый коллекционер обменивает 3 марки, а второй – 6 марок. (Обмен происходит по одной марке).

38. У одного студента 6 книг по математике, а у другого – 5. Сколькими способами они могут обменять 2 книги одного на 2 книги другого?

39. Сколько различных перестановок букв можно сделать в словах: «замок», «ротор», «обороноспособность», «колокол», «семинар»?

40. Сколькими различными способами можно разместить в 9 клетках следующие 9 букв: а, а, а, б, б, б, в, в, в?

41. В автомашине 6 мест. Сколькими способами 6 человек могут сесть в эту машину, если занять место водителя могут только двое из них?

42. Сколькими способами из колоды в 52 карты можно извлечь 6 карт, содержащих туза и короля одной масти?

43. Определить разложение при n=5.

44. Определить разложение при n=8.

45. Найти член разложения , не содержащий x (то есть содержащий x в нулевой степени).

46. Найти шестой член разложения , если биномиальный коэффициент третьего от конца члена равен 45.

47. В разложении коэффициент третьего члена на 44 больше коэффициента второго члена. Найти свободный член, то есть член разложения, не зависящий от x (членом, не зависящим от x, будет тот, который содержит x в нулевой степени).

48. В разложении бинома найти члены, не содержащие иррациональности.

49. Найти номер того члена разложения , который содержит a и b в одинаковых степенях.

Практическое занятие №2

(интерактивное занятие в малых группах)

Булевы функции

Цель занятия: уметь строить различные булевы функции, проверять эквивалентность булевых формул (используя таблицу истинности), определять существенные и фиктивные переменные.

План занятия:

1. Основные операции

2. Булевы функции от n переменных

3. Основные эквивалентности

Сочетания. Размещения. Перестановки

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

Рассмотрим пример : сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение:

Или такой пример . Порядок выступления семи участников на студенческой конференции определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?

Решение: каждый вариант жеребьевки отличается только порядком участников, то есть является перестановкой из 7 элементов. Их число находится

Пример. К кассе за получением денег подошли одновременно 4 человека. Сколькими способами они могут выстроиться в очередь?

Решение: очередь состоит из 4 различных лиц, поэтому в каждом способе составления очереди учитывается порядок их расположения. Таким образом, имеют место перестановки из четырех человек, их число равно

Размещениями n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо их порядком, либо составом элементов.

Число всех возможных размещений рассчитывается

Пример: сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по два?

Решение:

Пример: расписание одного дня состоит из пяти уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.

Решение: каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающийся от других вариантов, как составом дисциплин, так и порядком их следования, то есть является размещением из 11 элементов по 5. Число вариантов расписания находят по формуле

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний

Пример: сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Решение:

Пример: в шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия?

Решение: каждая партия играется двумя участниками из 16 и отличается только составом пар участников, то есть представляет собой сочетание из 16 элементов по два

Пример: имеется 6 штаммов бактерий. Для определения скорости их роста необходимо выбрать три штамма. Сколькими способами можно это сделать?

Решение: способы отбора считаются различными, если каждый отобранный штамм различается хотя бы одним элементом. Это число

То есть имеется 20 способов.

Подчеркнем, что числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством

При решении задач комбинаторики используют следующие правила.

Правило суммы: если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А , либо В можно способами.

Правило произведения: если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А,В) в указанном порядке может быть выбрана способами.